0.2　结构：七大板块

本书可以归纳为七大板块——基础、坐标系、解析几何、函数、微积分、概率统计、线性代数。

图0.2　《数学要素》板块布局

基础

基础部分从加、减、乘、除四则运算讲起。线性代数在机器学习中应用广泛，本书第1、2章开门见山地介绍向量和矩阵的基本运算，也会在本册各个板块见缝插针地介绍线性代数基础知识。

本书第3章回顾常用几何知识，几何视角是鸢尾花书的一大特色。这一章有一大亮点——圆周率估算。圆周率估算是本书的一条重要线索，本书会按时间先后顺序介绍如何用不同数学工具估算圆周率。

第4章回顾代数知识，其中有两个亮点值得大家特别注意：一个是杨辉三角，本书后面会将杨辉三角和概率统计、随机过程联系起来；另一个是鸡兔同笼问题，本书最后三章都围绕鸡兔同笼这个话题展开。

坐标系

笛卡儿坐标系让几何和代数走到一起，本书第5、6两章介绍坐标系有关内容。这两章的一大特色是——代数式可视化，几何体参数化。没有坐标系，就没有函数，也不会有微积分；因此，坐标系的地位毋庸置疑。

解析几何

第7、8、9三章介绍解析几何内容，其中有两大亮点——距离度量、椭圆。距离度量中，大家要善于用等距线这个可视化工具。此外，大家需要注意欧氏距离并不是唯一的距离度量。第二个亮点是椭圆，椭圆可谓“多面手”，相信大家很快会看到椭圆在概率统计、线性代数、数据科学、机器学习中大放异彩。

函数

第10章到第14章都是围绕函数展开。有几点值得强调：学习任何函数时，建议大家编程绘制函数线图，以便观察函数形状、变化趋势；此外，学会利用曲面、剖面线、等高线等可视化工具观察分析二元函数；再者，不同函数都有自身特定性质，对应独特应用场景。第14章讲解数列，数列可以视为特殊的函数。本章中，累加、极限这两个知识点特别值得关注，它们都是微积分基础。

微积分

第15章到第19章讲解微积分以及优化问题内容。牛顿和莱布尼兹分别发明微积分之后，整个数学王国的版图天翻地覆。导数、偏导数、微分、积分给我们提供了研究函数性质的量化工具。学好这四章的秘诀就是——几何图解。导数是切线斜率，偏导数是某个变量方向上切线斜率，微分是线性近似，泰勒展开是多项式函数叠加，积分是求面积，二重积分是求体积。数据科学、机器学习中所有算法都可以写成优化问题，而构造、求解优化问题离不开微积分。因此，本书在讲完微积分之后立刻安排了第19章，介绍优化问题入门知识。鸢尾花书后续还会在各册中不断介绍优化方法。

概率统计

第20、21两章是概率统计入门。鸢尾花书专门由《统计至简》一册系统讲解这个版块，但是这不意味着本书第20、21两章内容毫无出彩之处；相反，这两章亮点颇多。第20章概率内容实际上是代数部分杨辉三角的延伸，本章用二叉树这个知识点，将代数和概率统计串联在一起。第20章的最后还介绍了随机过程。第21章的关键词就是“图解”，用图像可视化数据，用图像展示概率统计定义。

线性代数

本书最后四章以线性代数收尾。第22章介绍可视化向量和向量运算。第23、24、25三章是“鸡兔同笼三部曲”，这三章虚构了一个世外桃源，讲述与世隔绝的村民如何利用舶来的线性代数知识，解决村民养鸡养兔时遇到的数学疑难杂症。这三章涉及线性方程组、向量空间、投影、最小二乘法线性回归、马尔科夫过程、特征值分解等内容。这三章一方面给大家展示了本书重要数学工具的应用，另外这三章也为鸢尾花书《矩阵力量》一册做了内容预告和铺垫。