1.5 其他物理场分析模型
1.5.1 传热模型
传热一般包括传导、对流、辐射3种方式，相应地有3种传热问题。固体的传热方程为
（1-142）
其中，
是恒定应力下的比热容，
表示密度，
为平移运动速度，
是绝对温度， q是传导热通量，qr为辐射热通量，
是热膨胀系数，S是第二Piola-Kirchhoff应力张量，
为额外的热源。
流体的传热方程为
（1-143）
其中，
是黏性应力张量，
是流体的速度，是恒定应力下的比热容，表示密度，T是绝对温度，q是传导热通量，qr为辐射热通量，
是热膨胀系数，
，p是压力，Q为黏性耗散以外的热源。
1.5.2 电磁场
宏观层面上的电磁分析问题是在一定边界条件下求解麦克斯韦（Maxwell）方程组。麦克斯韦方程组描述了基本电磁量之间的关系，其中的主要物理量为电场强度E、电位移或电通量密度D、磁场强度H、磁通密度B、电流密度J、电荷密度。麦克斯韦方程可以用微分形式或积分形式表示，采用微分形式便于有限元法处理。对于一般时变场，麦克斯韦方程可以写成：
（1-144）
（1-145）
（1-146）
（1-147）
上述方程的前两个分别称为麦克斯韦-安培定律和法拉第定律。第三个方程和第四个方程分别是高斯定律的两种形式：电形式和磁形式。
另一个基本方程是连续性方程，如下所示。
（1-148）
上述5个方程中，只有3个是独立的。前两个方程与高斯定律的电形式或连续性方程结合可以形成一个封闭的系统。
1．本构关系
为了获得封闭系统，需要包括描述介质宏观性质的本构关系，如下所示。
（1-149）
其中，
为真空介电常数，
为真空磁导率，
为电导率，P为极化强度，M为磁化强度。在国际单位制中，真空磁导率与无量纲精细结构常数成正比，其值为4π×10−7 H/m。真空中电磁波的速度为
，约为3×108m/s，真空介电常数
，约为
。
2．电势与磁势
在某些情况下，用标量电势V和矢量磁势A来描述问题有利于数值求解，表达式如下。其中矢量磁势的定义方程由磁形式的高斯定律直接给出，电势由法拉第定律产生。
（1-150）
3．电磁场偏微分方程
将式（1-149）应用到安培环路定律和电形式的高斯定律中，经推导，分别得到以下磁场偏微分方程和电场偏微分方程。
（1-151）
（1-152）
4．边界条件
要全面描述电磁问题，必须在材料界面和物理界面处指定边界条件。在两种介质之间的界面处，边界条件可以表示为
（1-153）
其中，
和
分别表示表面电荷密度和表面电流密度，
是介质2的外法线。这些条件中只有两个是独立的，这是一个超定方程组，因此需要简化。先选择方程一或方程四，然后选择方程二或方程三，这些选择一起形成一组独立的条件。根据这些关系，我们可导出电流密度的界面条件：
（1-154）
5．相量
时谐场量与其相量之间的关系为
（1-155）
其中，
是一个相量，它包含场的振幅和相位信息，但与t无关。
6．电磁力
电磁力公式可以表示为
（1-156）
7．全波电磁场
通过有限元法，我们可以求解全波形式的麦克斯韦方程。假设角频率已知，为
，电磁场随时间呈正弦变化，且材料的所有属性相对于场强呈线性变化，则三维麦克斯韦控制方程可简化为
（1-157）
其中，k0表示波数，
表示相对磁导率，
表示相对介电常数，表示电导率。已知真空中光速为，则可在整个模拟域内对电场E=E(x, y, z)求解上述方程，其中E为矢量，可用其分量表示为
。其他诸如磁场强度、功率、电流等物理量都可从电场推导出。
8．波束包络法
在使用“电磁波，波束包络”接口时，我们可以从“电磁波，波束包络”设置窗口中查看该接口的控制方程：
（1-158）
其中，
是包络函数，为求解的因变量。
在场的相量表示中，对应于振幅，
代表相，即
（1-159）
式（1-158）为波束包络接口的控制方程，可以通过将式（1-159）代入亥姆霍兹方程（电磁波方程，
，k为波数，A为振幅）中导出。假设已知，是唯一未知量，这样就可以求解，因此，在使用此方法时，需要提前知道波矢或相函数。
9．光波传输
光波也是电磁波谱的一种，在使用“几何光学”接口时，可以从“几何光学”设置窗口中查看该接口的内置方程：
（1-160）
其中，q为光线位置，k为波矢。
电磁场分析理论涉及电磁学的较多知识，上述仅简单介绍电磁学的基础知识，详细内容可查阅参考文献[8]。
1.5.3 多孔介质
多孔材料由固体结构（多孔基质）和填充有液体或气体的孔隙（空洞）组成。多孔材料有各种尺寸和广泛的应用——从纳米材料到多孔反应器，从电子元件的冷却到大规模的岩土工程应用。它们的共同点是，材料的总尺寸远大于平均孔径，因此必须使用宏观方法建立模型。
1．基本参数
通常用孔隙率和渗透率两个参数表征多孔材料。孔隙率
描述了孔隙或空洞体积与总体积之比，
。渗透率
表征了流体通过多孔材料的能力。
描述多孔材料中液体流动的基本定律是达西定律。它描述了速度场u（m/s）和压力梯度p（Pa）之间的线性关系，此式仅用于速度很低（Re < 10）的情况。
（1-161）
在流速相对较快（Re>10）或克努森数相对较高（Kn>0.1）的情况下，达西定律不再有效。因此，引入了不同的渗透率模型来捕捉这些影响。
压力梯度与速度的非线性关系的一般形式可以写成：
（1-162）
其中，β是取决于多孔介质特性的常数。
通过填充床的流态可由床的雷诺数确定。通常情况下，对于雷诺数Re < 10的情况，可以用科泽尼-卡曼方程（达西流）来描述流动，
，
为颗粒平均直径。对于10 < Re < 1000（有时称为过渡区）的情况，流动由埃尔根方程更好地描述，
。对于Re > 1000的情况，埃尔根方程可由湍流的伯克-普卢默方程近似，
，L为填充床的长度。
2．质量守恒
（1-163）
其中，
是多孔介质每单位体积的质量源（不是每单位孔隙体积）。
3．动量守恒
（1-164）
其中，K是黏性应力张量。
1.5.4 声学
标准声学问题涉及求解固定背景压力
之上的小声压变化
。从数学角度来讲，这代表了围绕固定静态值的线性化（小参数扩展）。
通过对动量方程（欧拉方程）和连续性方程的变换，可以得到无损介质中声波的波动方程。
（1-165）
其中，
是体积模量，表示密度，是压力，
为偶极子声源，
为单极子声源。
1.5.5 化学工程
这里用简短的实例说明反应工程和化学程序中如何处理物质平衡方程中的平衡反应。对于组分A与B的如下反应：
（1-166）
组分A到B的反应率为
（1-167）
其中，
和
分别是A和B的浓度，kf和kr分别是正向和反向速率常数。
假定组分A与B的反应是平衡的，则反应率为
，也有
，
。反应工程程序能够定义平衡系统的质量平衡，而无须反应速率表达式。求解的方程组如下。
（1-168）
（1-169）
其中，
表示正向和反向反应速率之间的关系。
一般而言，对于贡献k个质量平衡且j个反应处于平衡的反应系统，要求解的简化方程组由k–j个质量平衡式和j个反应平衡式组成。COMSOL生成上述方程组的消除过程是自动化的，允许对化学平衡反应以及不可逆或可逆反应进行简单建模。
1.5.6 电化学
COMSOL软件涉及电化学的3个物理场分别是“一次电流分布”“二次电流分布”和“三次电流分布，Nernst，Planck”。
在分析“一次电流分布”时，忽略了电极动力学和浓度依赖性效应造成的损耗，假定电解液中的电荷转移遵守欧姆定律，仅考虑几何因素的影响，其控制方程为
（1-170）
（1-171）
（1-172）
其中，i为电流密度矢量，Q为一般电流源项，
为电势，为电导率，各项中的下标l代表电解质，s代表电极。
为反应的平衡电位。
在“二次电流分布”分析中，忽略了浓度极化时的电流分布，考虑了电极动力学的影响，也假定电解液中的电荷转移遵守欧姆定律。它的域方程为式（1-170）和式（1-171），而电极和电解质界面上的电位方程为
（1-173）
其中，
为活化过电位，即实际电位差和平衡电位的差值。
在“三次电流分布，Nernst，Planck”分析中，考虑电解质组成和离子强度的变化对电化学过程的影响，以及溶液电阻和电极动力学的影响，利用Nernst-Planck方程来描述电解质中化学物质的传递，不再假定电解液中的电荷转移遵守欧姆定律。该方法考虑的因素较多，会导致模型过于复杂、求解时间变长。“三次电流分布，Nernst，Planck”方法包括“三次分布，电中性”“三次分布，水基电中性”“三次分布，支持电解质”三个子方法。下面的方程为“三次分布，电中性”子方法的控制方程，其余两个子方法的控制方程可查阅参考文献[10]或从软件系统的具体设置窗口中查看。
（1-174）
（1-175）
（1-176）
（1-177）