1.1 电磁场基本理论

1.1.1 麦克斯韦方程组

19世纪中叶，英国物理学家麦克斯韦在总结前人工作的基础上，提出了适用于所有宏观电磁现象的数学模型，称之为麦克斯韦方程组。科学技术发展的实践充分证明，麦克斯韦方程组正确描述了电磁场中各物理量之间的相互关系。麦克斯韦方程组有微分形式与积分形式，本节根据电磁场有限元数值分析格式推导的需要，仅给出其微分形式。

（1）Maxwell方程组的微分形式如下：

式中，为电场强度（V/m）；为电通量密度（C/m2）；为磁场强度（A/m）；为磁通量密度（T；Wb/m2）；为传导电流密度（A/m2）；ρ为电荷密度（C/m3）。另一个基本方程是电流连续性方程，即

（2）静电场、恒定电场与静磁场 当电磁场量不随时间变化时，所有与时间导数相关的项为0，此时，式（1-1）、式（1-2）与式（1-5）可写作

而电介质中的高斯定理式（1-3）、磁场高斯定理式（1-4）保持不变。此时，电场和磁场之间不存在耦合关系。将电磁场解耦，即得到静电场、恒定电场及静磁场的控制方程。其中，式（1-3）和式（1-6）描述了静电场，式（1-6）与式（1-8）描述了恒定电场，式（1-4）与式（1-7）描述了静磁场。

（3）时谐电磁场 当麦克斯韦方程组中的激励源做时谐变化，且所有材料参数均为线性时，所有的电磁场量也在该频率下做时谐变化，因此也叫作时谐电磁场。用复相量法，可将式（1-1）、式（1-2）和式（1-5）写成以下形式：

式中，ω为角频率；j为虚数单位。时谐激励下，电场和磁场同时存在并相互激发。根据激励频率、所分析结构的电尺寸及区域中的材料参数特性，时谐电磁场可进一步分为时谐电场[忽略式（1-9）中的]，时谐磁场[忽略式（1-10）中的]及时谐全波电磁场[比如由式（1-9）和式（1-10）可以导出以为变量的二阶矢量波动方程[8]]。

（4）本构方程 为了确定所有的电磁场量，还需要列出描述媒质宏观电磁性质的本构关系。电磁场的三个本构关系为

式中，本构参数ε、σ和μ分别表示媒质的介电常数（F/m）、磁导率（H/m）和电导率（S/m）。对于各向异性媒质，这些参数是张量；对于各向同性媒质，它们是标量。对于非均匀媒质，它们是空间坐标的函数；对于均匀媒质，它们不随空间坐标变化，取值为常数。另外，通常使用的电工磁性材料，其磁导率及电导率参数同时也是磁场强度及电场强度的非线性函数。

（5）不同媒质分界面的衔接条件 在电磁场分析中，如果场域内包含有不同的媒质（例如媒质1和媒质2），则一般需要确定电磁场量在不同媒质分界面处的衔接关系（连续性条件）。两种媒质交界面上的连续性条件表达如下：

对于电场有

对于磁场有

式中，为媒质分界面上的单位法向量，由媒质2指向媒质1，如图1-1所示。需要注意的是，以上衔接条件假设分界面处不存在线电流及自由面电荷。若分界面存在线电流密度和自由面电荷密度ρ_s，则需对以上方程作以下修改[9]：