数字 NUMBERS

其实我们并不理解这些数字到底意味着什么。

——戴维·斯托克曼，里根政府预算主管

我们都愿意认为自己对数字特别敏感。上学的时候你可能根本不喜欢数学，但你没准依然能细读银行对账单，瞥一眼就看清温度计读数，或者轻松计算现在离圣诞节还有几周。

人类擅长处理这类小数字。虽然我们总愿意觉得自己敏锐机变、富有见地、擅长处理数字，但实际上，谁也无法摆脱人类自身的局限：大数字（以及非常小的数字）是我们的软肋。

不过在本书中，我们将逼迫自己从日常认知走向极端值，尤其是在探索各种谱系的时候。就算我们无法真正理解那些非常大或非常小的值，至少可以通过直观的方法更好地认识它们。

但是，直接从大数字开始毫无意义，例如十亿或万亿；不，我们必须从小数字入手，循序渐进。

请想象“一”：一个按钮，一个人，或者任何一个进入你脑海的东西。我们很容易想象一、三乃至七。想象寥寥几件物品的时候，你的脑子里甚至可能出现一幅图像：可能是三角形、五角形或者十字。用科学术语来说，这叫感知：你知道这个数字，你能够感受到它，甚至无须去数。

不过一旦超过六或者七，你就需要数一下了，或者将它再分成更小的基本图像。比如说，要想象“十”，你也许会看到两组“五”；要想象“五十”，你可能会想到五组代表“十”的图像。

但不幸的是，对于再大一点儿的数字，人类大脑很容易陷入混乱，无法准确感知。我们会开始估算近似值，或者用已知的数作为参照。比如说，提起“一千”，你可能会想到一个中等规模礼堂里的座位。

但这种思考方式与我们对“三”的认识完全不同。“三”是实实在在、天然存在、永恒不变的；三是个简单的模式，而识别模式是人类最擅长的事情。研究表明，哪怕是刚出生一天的人类婴儿也能理解小的抽象数字，他们能把声音信号重复的模式与视觉刺激正确地联系起来。瓦尔皮里语中代表数字的词只有“一”“二”“一些”和“很多”，但说瓦尔皮里语的澳大利亚土著儿童却能清楚地区分五和六——哪怕没有相应的语言去描述，但他们能从直觉上理解两种模式的区别。

符号背后的意义

把成组的物品摆成一种模式来代表数字，长此以往，数学家们由此创造出奇怪的符号和规则。比如说，乘法其实是一种定义模式的方法。所以5×3的意思是说，把3组5加到一起（5+5+5）。因此，乘法是一种定义加法模式的方式。

接下来，你又该怎么定义一种乘法模式呢？答案是指数——指数的本质是“把这个数相乘那么多遍”，只不过它用了个好听的术语。比如说，53（有时候可写作5^3）的意思是3个5相乘：5×5×5。

这听起来很复杂，但你每天都会用到指数，甚至无须经过思考。谁都知道，10分等于1角，10角等于1块，10块等于……呃，就是10块。明白了吧。指数就是把同一个数相乘多少次，所以101就是10，102等于100，103等于1000，以此类推。数学和财务的基本体系都以指数为基础——确切地说，是10的指数。

这很好掌握，因为10的指数实际上描述的是1后面零的个数：10（101）有1个零，100（102）有2个零，1000（103）有3个零，以此类推。

我们也可以采用更直观的图像：想象一排有5枚硬币，将这排硬币重复5次，就得到了52，或者说5×5，即25枚硬币。现在，再把这个矩阵重复五次——比如说，你可以在第一层的每枚硬币上叠加4枚硬币，形成一个长、宽、高都是5的“立方体”——最后得到53，即125枚硬币。

用这样的方法来书写数字是理解科学计数法的关键。比如说，4.5×109是多少？一旦你理解了109是1后面加9个零，也就是10亿，那么你就会明白，这个式子的意思是“45亿”。

多大才算大？

指数的奇妙（和强大）之处在于，指数只需要变化一点点，它所代表的数值就会产生巨大的飞跃。比如说，102和103之间相差900，但103和10>4却相差9000！指数值的变化只有1，但数值的差距已经从加州的长度（大约1200千米）变成了地球的直径（约12700千米）。如果指数再往上加1（105），差值就变成了地月距离的三分之一（约127000千米）。

如果衡量的是体积，那变化就更大了。比如说，假如你有一个100×100×100的硬币“立方体”，换句话说，长、宽、高都是102个1分硬币，那么硬币的总数是100万枚，也就是1万元。只需要把每条边的硬币数量增加到103个，那么硬币的总数就会增加999个100万，变成10亿个，也就是1000万元。

这样势不可当的“指数式增长”可能带来非常惊人的结果。有一个古老的故事曾经提到，一位工匠献给国王一张精致的棋盘，并请求国王赐给他相应的回报：他要求在棋盘的第一个格子里放1粒大米，第二个格子里2粒，第三个格子4粒，第四个格子8粒，以此类推，填满棋盘的64个格子。这个要求看起来很合理，于是国王马上就答应了。

不幸的是，这位国王不懂指数的威力。每次都翻倍，也就是“n个2相乘”，或者说2n。所以第二个格子需要21粒大米，第三个是22（只有4粒），到第八个格子——就是第一排的最后那个格子——也只需要27粒大米，也就是128粒。但以此类推……第21个格子就需要100万粒大米，到第41个格子需要的大米已经超过1万亿粒。做完整个运算，你会发现总共需要264-1粒大米（必须减掉1是因为第一个格子是从1粒大米开始的，也就是20），也就是18446744073709551615（1.84×1019）粒——足以填满4英里长、4英里宽、6英里高（6.4千米×6.4千米×9.7千米）的立方体——比珠穆朗玛峰还高。

当然，故事里的国王虽然数学不灵光，但却拥有政客的机敏：他宣称，工匠要想得到赏赐，就得数清楚奖品中的每一粒米。如果每秒钟数1粒，那么他需要5000亿年——约等于宇宙年龄的42倍——才能完成这个任务！

这个故事很好地解释了指数式增长到底有多恐怖，以及人们有时候为什么会用“棋盘的后半张”来形容远超控制范围的情况。

数不清的数

不幸的是，不需要到棋盘的后半张，光是在前三分之一处，人类大脑就会出现认知科学家侯世达所说的“数不清的数”现象。归根结底，我们能够一次性看到1000件物品，所以我们能理解这个量级的数字——虽然可能不太精确。

我们甚至能同时看到一万乃至十万件物体——想象一下座无虚席的足球场或政治示威集会，放眼望去全是密密麻麻的人头。

不过，人类视觉分辨率的上限介于100万到1000万之间——你可以打印一张百万个点组成的海报，然后把它放到合适的距离，以便在看清全貌的同时仍能大体分辨出一个个独立的点。老话说“眼见为实”，背后自有道理：一旦数量多到我们看不清的程度，我们就很难感知它的确切意义。所以对很多人来说，百万以上的数量级听起来都差不多，无论是百万、十亿、万亿还是千百万亿（抱歉，最后这个其实不是常用量级）。

现代政治和经济（更别提科学和数学）领域动不动就会出现大得不可思议的数字，于是我们对大数字的理解缺陷也随之成为一个严肃的问题。既然如此，我们如何真正理解十亿就是1000个百万，而万亿是一百万个百万（1012）？

再次强调，图像可以帮助我们更好地理解这样的量级。所以请想象一整叠100美元的钞票——加起来也只有1万美元，体积不大，可以轻松塞进衣兜。然后是100叠——大约能装进一个小盒子，或者一个小号购物袋——等于100万美元。再加上99个100叠，那么1亿美元的钞票可以在一块船运垫板上堆起6英尺多一点点。

现在，要得到10亿美元，你需要10块这样的垫板。接下来，1万亿就是再加一点点？不对，你需要把1000组10块垫板放到一起，才能得到1万亿美元。

这个数字大得不可思议，真的很大。正如一位博主所说：“你的脑子无法掌握这么庞大的数字。”现在，再把它翻倍——把每张钞票配成一对——你才得到了2万亿。直到10万亿，这串数字后面才会增加一个零——从1012变成1013。说起来容易，做起来却很难：每增加一个零，就意味着已经大得不可思议的数字还要再翻10倍；而每增加三个零，那就是1000倍。

有数不清的例子可以说明这些极大的数字彼此间的差值到底有多大。譬如以长度为例：不到一小时你就能走一百万毫米，但要跨越十亿毫米的距离，你需要开10个小时的车。至于一万亿毫米？那得绕地球25圈。

或者时间：一百万秒大约等于一周半，十亿秒则是30年，看起来够久了吧？别急，要知道，一万亿秒（30000年）前，尼安德特人还是地球的主人呢。

要么还是以钞票为例（最后话题总是回到钱，不是吗？）。一位收入优渥的专业人士在银行里的存款达到10万美元基本就算有了底气，但他可能希望存款达到100万。好的，现在我们找一把尺子，如果上面1英寸（2.54厘米）就等于100万美元，于是这位专业人士可以看到，自己的存款高度是1/10英寸，和旁边的百万富翁相比显得相当可怜。但是，再把这位百万富翁与身家650亿美元的沃伦·巴菲特相比：在同样的尺度下，巴菲特的财富高度超过1英里（1609米）！

看看这些数字，你也许会开始感觉到，一百万是多么微不足道。

向着无限再进一步，试想一下，我们的银河系里大约有2000亿（2×1011）颗恒星；根据哈勃太空望远镜的观察结果，整个宇宙里大约有1500亿个星系。这个数字看起来的确很大，但是我们可以用你书桌上一些非常平凡的东西来比较：一块普通的计算机硬盘能存储一万亿比特的信息——所以，如果每个星系代表一个0或1，那么你的硬盘里能存储6个宇宙。再想一想，你的身体里大约有100万亿（1014）个细胞，与之相比，硬盘的存储能力也黯然失色。

自远古以降，人类一直在苦苦追问，是《圣经》里所说“地球上所有的沙粒”多，还是天空中的星星多。显然，这两个数字都不可数，但夏威夷大学的研究者（他们应该知道）估计，地球上大约有7.5×1018颗沙粒；与此同时，尽管我们裸眼能看见的星星只有寥寥几千颗，但天文学家目前认为，整个已知宇宙里大约有16×1021颗恒星。这个数字看起来大得不可思议，但实际上，它仅仅和大约10滴水里蕴含的分子数相当。

是的，分子就是那么小，当然，原子比分子更小。仅仅12克（不到半盎司）纯碳12里就有6.02×1023个原子。这个数字看似毫无规律，但它在化学研究中至关重要，所以它拥有一个专用名称：阿伏伽德罗常量（Avogadro constant）。这个数字定义了1“摩尔”的大小——也就是说，1摩尔任意物质中都含有6.02×1023个原子。有了阿伏伽德罗常量，你只需要瞥一眼化学质量表就会发现，1粒糖里含有一万亿（1012）个蔗糖分子。不过比起一粒盐的分子数，蔗糖只能甘拜下风：一粒盐里含有1.03×1018个致密的氯化钠分子。

组块

面对602214179300000000000000这样的数字，你可以单独给它一个名字，例如“阿伏伽德罗常量”，这种方法叫作组块(2)。在处理极大或极小的数字时，组块能让我们省不少事。我们经常用组块来规范数字：谈到钱的时候，以“元”为单位总比“百分”容易得多。就连“百万”这样的数字也是一种组块，但既然可以说“两万美元”，那谁也不愿意费力用“两百万美分”。在英语里，人们还习惯说“二十千”，因为“二十”和“千”都是直观易懂的数字，我们不用把它再分成更小的单元。组块构成了某种心理上的真实：我们知道它是什么，然后才能明白它的意义，你也能分辨广告上的车到底值不值那么多钱。

与此相似，我们用“赫兹”来代替“每秒次数”，然后又引入前缀来形成更大的组块，所以“千赫”（kHz）代表每秒一千次，而“兆赫”（MHz）代表每秒一百万次。（在上面的例子里，谈论车的价钱时用“那辆车要卖2兆分”更合理，但如果你在现实中这么说的话，别人只会奇怪地看着你）

天文学家将地球与太阳之间的平均距离定义为1个天文单位（AU）——写起来比1.5亿千米简单点儿——又将63000AU定义为1光年。你或许无法直观感受1光年（光在太空中旅行1个地球年的距离）到底有多远，但你肯定明白，在讨论地球到织女星的距离时，随手写个25光年肯定比147962000000000英里愉快得多，更别提2.37×10 17米。当然，无论我们定义的组块有多大，数字的增长依然会超出控制，进入大得可怕——或者说可笑——的范畴。目前我们通过一颗恒星爆炸释放的伽马射线探测到的最远天体离地球的距离大约是13140000000光年，即1.2×1026米。

超越可能

1938年，数学家爱德华·卡斯纳让九岁的侄子米尔顿给一个大得不可思议、超乎想象的数取个名字。孩子回答说：“古戈尔”（googol）(3)，并相当早慧地把这个单位定义为1后面100个零（10100）。随后，急于突破极限的米尔顿又提出了古戈尔普勒克斯（googolplex），起初小男孩希望把这个数定义为“写零写到手酸”，但后来他决定将之标准化，定义为“1后面古戈尔个零”。

这些数超越了目前已知事物的极限。事实上，已知世界里还没有能达到1古戈尔量级的东西！地球上所有物质加起来的分子总数也不到1古戈尔，太阳里所有的氢原子加起来也没有这么多。更让人震惊的是，已知宇宙里的所有原子总共只有大约1081个，比1古戈尔小了18个数量级。

所以，既然古戈尔这样的数字（更别提更加疯狂的古戈尔普勒克斯）已经超越了任何物质的数量，那我们为何还要为它费神？因为数学上的需求。大部分人对数学的了解止步于算术，但专业的数学家走得更远，钻研得更深。他们的工作远不止浅显地解方程，而是努力试图理解数字潜藏的本质，乃至宇宙的本质。要描述这个宇宙——或者说众多可能的平行宇宙之一——你必须超越它的极限，正如画纸必须比画更大。

钻研高等数学、学习破解密码或研究宇宙学的时候，你完全无法避开那些“极大的数字”。比如说，稍早前我们探查过44这个简单数字的含义，它等于256。但的四次方呢？乍看之下这个数似乎平凡无奇，但实际上它代表的数字超过154位（1.34×10154）！数学家称之为迭代幂次——记作“4连续取幂于自己3次”——有时候也叫作迭代乘方、超幂，或者9岁的米尔顿为之骄傲的称呼——“超4”。

超4运算将数学带入全新的领域，超越了电子计算机吱吱嘎嘎处理数字的层面。当然，计算机可以凭蛮力算出一局国际象棋中所有可能的选择（整局国际象棋里可能的走法加起来大约是1050这个数量级），但在古老的围棋游戏——用简单的黑白子在19×19的网格上下棋——中，可能的走法共有10150种。

逻辑与数字的螺旋还能进一步向上攀升。1933年，南非数学家斯坦利·斯奎斯当时正在研究质数(5)在数字谱系中的分布，他在论文中提出了1.397×10316这个数——它如此巨大，甚至有了自己专门的名字（斯奎斯数）；著名数学家G.H.哈代开玩笑说，这是“数学中有确切目的的最大数字”。但斯奎斯数创造的纪录很快就被打破了，与目前最先进的经常包含这种数字的数学函数相比，斯奎斯数显得相当老式。这些数真的很大。

走向负数

老话常说：“下如其上。”（as above so below），在数字的世界里，你更能领会它的含义。2的倒数是1/2，即0.5；3的倒数是1/3，比0.5还小。随着数字逐渐增大，从4、5到10、100，等等，它的倒数也不断减小（1/4，1/5，1/10，1/100，以此类推），不断逼近但永远不会等于零。那么，比1/古戈尔还小的数会是什么？答案当然是1/古戈尔普勒克斯！

顺便说一下，极大的数与极小的数记录方法基本相同。1×103意味着“将小数点向右移动3位”（1000），那么1×10-3就是“将小数点向左移动三位”（0.001，或1/1000）。以此类推，百万分之一就是10-6，十亿分之一是10-9。

但是，数字不断变小，早晚会变成零……然后呢？你无法数清楚1古戈尔件物品，同样，你也没法数出比零还小的数。古希腊人在两千五百年前就拥有超乎现代人想象的数学技巧，但却有个致命的软肋：他们不承认任何无法用几何图形来描绘的数字。你能画出比零还小的数吗？显然不行，那么在希腊人的世界里，这样的数等于不存在。说实在的，他们的想法也不无道理：你可以问一个六岁小女孩：“2减2等于几呀？”她会告诉你答案；可是你再问她：“2减3等于几？”你会看到她小小的眉毛像《星际迷航》里的斯波克先生那样倒立起来：这根本没法算！

不过，公元前的中国人和印度人就没有这个毛病，他们不需要用图画或者可数的物品来代表数字，而且他们都想出了在那个年代堪称激进的概念：负数。

负数无法实实在在地数出来，但你知道它在那里，因为事情就应该如此，顺理成章。正如伟大的数学家卡尔·弗雷德里希·高斯曾经写道：“在普通的算术中，谁也不会拒绝接受分数的存在，虽然对于很多可数的物品，分数毫无意义；同样，既然有正数存在，我们也没有理由拒绝负数。”

所以，我们又找到了数字的另一种配对方式：15与-15成对，10261的镜像则是-10261，以此类推。

以此类推？如果你停下来想一想，“以此类推”的说法和负数一样激进：它暗含着永远、无尽、无穷的意思。在这里，我们再次要求自己放远目光，超越舒适的可数宇宙。我们的数学有一个基本前提：世界上存在无穷大和无穷小的东西。但是，“无穷”——它有许多种叫法，包括“阿列夫零”（aleph null，）、“N的集合”，等等——是个棘手的概念，只有意志坚定的人才能理解并运用。

记住，无穷不是终点，更像是一个想法。我们不能确切地指出，从什么地方开始，那些极大的数就等同于无穷。天文学家卡尔·萨根曾经写道：“1古戈尔普勒克斯与无穷的距离并不比1更近……无论你脑子里想到的是多大的数，无穷都比它更大。”

光是将无穷引入计算就会带来一片混乱，仿佛在摆满哈哈镜的屋子里穿行。无穷加1等于无穷。无穷加无穷也等于无穷。你可能理所当然地认为，奇数的个数是自然数的一半，但事实并非如此——奇数和自然数的数量都是无穷的，没想到吧？正如菲利普·戴维斯和鲁本·赫什在《数学经验》中所写的：

N的集合是个神奇的无底罐，让人不由得想起《马太福音》15：34中那取之不尽的饼和鱼。

这个奇迹之罐有许多神奇的特性，看起来有悖于我们所有的日常经验，但它是数学里最基础的东西，小学的孩子就应该很好地掌握它。数学要求我们相信这个奇迹之罐，如果做不到的话，我们就无法在这条路上走得更远……

无穷没有尽头，它是永恒，是不朽，是万古常新，是希腊人的阿派朗(6)（apeiron），是卡巴拉主义中的无量（ein-sof）。

你可以说正负无穷是数字谱系的尽头，但从定义上说，数字根本没有尽头。

打破常规

数字向正、负两头无限延伸，就像一条通往永恒的铁路。在这条看不到尽头的线上，我们理应能找到所有数学问题的答案，不是吗？神奇的是，很快你就会发现，有的方程在这条铁路上没有可以停靠的站台，没有任何一个点能让你斩钉截铁地说：“这就是它的解。”

取而代之的是，我们必须跟一些奇怪的数字打交道，譬如无理数——这些数字可以写成无限长的十进制序列，无法简单地表述成两个整数之比。比如说，你可以试试看，哪个数的平方等于2，即2的平方根（）。我们可以用90/63来得到它的近似值，或者将它写作1.4142135……但末尾的省略号意味着我们永远无法以这种方式写出它的精确值——小数点后的位数没有尽头，也没有重复的模式，一直延伸到天荒地老。

除此之外，还有超越数。给它起名字的时候，数学家以为超越数非常罕见，但现在我们知道，这样的数十分常见，仿若撒落在数学里的尘埃。超越数不但是无理数，而且是非代数数，也就是说，它无法用一个简单、有限的代数方程来描述。很多无理数同时也是超越数，比如著名常数π和е。

尽管如此，无理数和超越数在数字之线上总有个位置，哪怕我们不能确切地把它指出来。除了它们以外，还有另一种更奇怪的数，完全脱离了常规的数字之线。我们来看一个简单的代数方程：x2-1=0。要解出这个方程，需要把等式两边各加1，得到x2=1。换句话说，哪个数的平方等于1？答案显然是1。（从技术上说，-1也是方程的解，因为负数的平方永远是正数。）

π=3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679821480865132823066470938446095505822317253594081284811174502841027019385211055596446229489549303819644288109756659334461284756482337867831652712019091456485669234603486104543266482133936072602491412737245870066063155881748815209209628292540917153643678925903600113305305488204665213841469519415116094330572703657595919530921861173819326117931051185480744623799627495673518857527248912279381830119491298336733624406566430860213949463952247371907021798609437027705392171762931767523846748184676694051320005681271452635608277857713427577896091736371787214684409012249534301465495853710507922796892589235420199561121290219608640344181598136297747713099605187072113499999983729780499510597317328160963185950244594553469083026425223082533446850352619311881710100031378387528865875332083814206171776691473035982534904287554687311595628638823537875937519577818577805321712268066130019278766111959092164201989380952572010654858632788659361533818279682303019520353018529689957736225994138912497217752834791315155748572424541506959508295331168617278558890750983817546374649393192550604009277016711390098488240128583616035637076601047101819429555961989467678374494482553797747268471040475346462080466842590694912933136770289891521047521620569660240580381501935112533824300355876402474964732639141992726042699227967823547816360093417216412199245863150302861829745557067498385054945885869269956909272107975093029553211653449872027559602364806654991198818347977535663698074265425278625518184175746728909777727938000816470600161452491921732172147723501414419735685481613611573525521334757418494684385233239073941433345477624168625189835694855620992192221842725502542568876717904946016534668049886272327917860857843838279679766814541009538837863609506800642251252051173929848960841284886269456042419652850222106611863067442786220391949450471237137869609563643719172874677646575739624138908658326459958133904780279……

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接下来，我们小小地修改一下方程，把减号换成加号：x2+1=0。哪个数的平方等于-1？史波克式的眉毛又出现了，大脑叮叮哐哐疯狂转动。你可以选择一条比较容易的路，像希腊人面对负数一样说：“它根本不存在。”又或者，你可以直面这团迷雾，离开那条清晰的数字之线，尽情发挥想象。正如伟大的数学家莱昂哈德·欧拉曾经写道，这类问题的答案“不是无，不比无更大，也不比无更小，它需要从虚无中构建”。

他的意思不是说答案不存在，恰恰相反，这句话实际上是给这样的数起了个名字——虚数，通常用字母i来表示。虚数的谱系完全独立于我们日常习惯的数字之线。虚数和它的朋友“复数”（例如“2+3i”）不会出现在家用电子计算器上，但却是数学家工具箱里的常备元素，确切地说，是不可或缺的元素。要是没有虚数和复数，科学家就无法计算火箭轨道和量子运动。它们之所以存在，完全是出于数学的需求：逻辑严密的数学系统需要虚数和复数，正如它也需要负数，无论我们能不能看见这些数并把它数出来。微积分的发明者、17世纪的伟大数学家戈特弗里德·莱布尼茨曾写道：“虚数是圣灵的完美庇护所，介于有和无之间的两栖物。”

在模式的地基之上，我们建起了数字的宏伟教堂，有高耸的尖塔，也有阴暗的墓穴。数字在我们的建筑中熠熠生辉，表达着可数与不可言说。现实与虚幻，想象其中的一个，再想象它们的全部。