2.2.2 控制系统微分方程的建立

在建立控制系统的微分方程时，一般先由系统原理图画出系统方块图，并分别列写组成系统各元部件的微分方程；然后，消去中间变量便得到描述系统输出量与输入量之间关系的微分方程。列写系统各元部件微分方程时，一是应注意信号传递的单向性，即前一个元部件的输出是后一个元部件的输入，一级一级地单向传送；二是应注意前后连接的两个元部件中，后级对前级的负载效应，例如，无源网络输入阻抗对前级的影响，齿轮系对电动机转动惯量的影响等。

例2-1 试列写图2-4所示速度控制系统的微分方程。

解 控制系统的受控对象是电动机（带负载），系统的输出量是转速ω，输入量是u_i。控制系统由给定电位器、运算放大器Ⅰ（含比较作用）、运算放大器Ⅱ（含RC校正网络）、功率放大器、直流电动机、测速发电机、减速器等部分组成。现分别列写各元部件的微分方程。

运算放大器Ⅰ 输入量（给定电压）u_i与速度反馈电压u_t在此合成，产生偏差电压并经过放大，即

其中，K₁=R₂/R₁为运算放大器Ⅰ的比例系数。

运算放大器Ⅱ 考虑RC校正网络，u₂与u₁之间的微分方程为

其中，K₂=R₂/R₁为运算放大器Ⅱ的比例系数；τ=R₁C为微分时间常数。

功率放大器 本系统采用晶闸管整流装置，包括触发电路和晶闸管主回路。忽略晶闸管控制电路的时间滞后，其输入输出方程为

其中，K₃为比例系数。

直流电动机 直接引用直流伺服电动机的微分方程式（2-8），即

其中，T_m、K_m、K_c及均是考虑齿轮系和负载后，折算到电动机轴上的等效值。

齿轮系 设齿轮系的速比为i，则电动机转速ω_m经齿轮系减速后变为ω，故有

测速发电机 测速发电机的输出电压u_t与其转速ω成正比，即

其中，K_t是测速发电机比例系数。

从上述各式中消去中间变量u_t、u₁、u₂、u_a及ω_m，整理后便得到系统的微分方程

其中，，；；。该式可用于研究在给定电压u_i或有负载扰动转矩M_c时，速度控制系统的动态性能。

从上述控制系统的元部件或系统的微分方程可以发现，不同类型的元部件或系统可具有形式相同的数学模型。例如，直流伺服电机和速度控制系统的数学模型均是一阶微分方程，这类具有相同形式数学模型的物理系统称为相似系统。相似系统揭示了不同物理现象间的相似关系，便于使用简单系统模型去研究与其相似的复杂系统，也为控制系统的计算机仿真提供了基础。