卷二

分粜推原

原文

问：有上农〔1〕三人，力田〔2〕所收之米，系用足斗均分，各往他处出粜〔3〕。甲粜与本郡官场，余三斗二升。乙粜与安吉乡民，余七斗。丙粜与平江揽户〔4〕，余三斗。欲知共米及三人所分各粜石数几何。

答曰：共米，七百三十八石。三人分米，各二百四十六石。

甲粜官斛〔5〕，二百九十六石。乙粜安吉斛，二百二十三石。丙粜平江斛，一百八十二石。

注释

〔1〕上农：种植条件好、收成好的农民。

〔2〕力田：努力务农。

〔3〕粜：卖出粮食。

〔4〕揽户：承揽他人税赋输纳并从中取利者，往往兼营粮食买卖、放贷等业务。

〔5〕斛：量器，南宋末年将其容量从十斗改为五斗。但不同朝代、地区，官方和民间又各有不同的标准。

译文

问：有三名农民，耕田收获的稻米，用标准的斗平均分配，各自去不同的地方贩卖。甲卖给本郡的官方，剩下3斗2升。乙卖给安吉乡的人，剩下7斗。丙卖给平江的揽户，剩下3斗。求解共收米多少石，以及三人各自分到和卖出的米有多少石。

答：共收米738石，三人各分到米246石。

甲卖给官家296石，乙卖给安吉223石，丙卖给平江182石。

原文

术曰：

以大衍求之。置官场斛率、安吉乡斛率、平江市斛率。官私共知者，官斛八斗三升，安吉乡斛一石一斗，平江市斛一石三斗五升。为元数。

求总等，不约一位，约众位。连环求等，约奇不约偶。或犹有类数存者，又求等，约彼必复乘此。各得定母，相乘为衍母，互乘为衍数。满定，去之，得奇。大衍求一，得乘率，乘衍数为用数。以各余米乘用，并之，为总。满衍母，去之，不满，为所分。以元人数乘之，为共米。

译文

本题计算方法：

用大衍术去计算。先确定官方、安吉乡、平江市的斛容量。官方和民间都知道，官斛容量是8斗3升，安吉乡斛1石1斗，平江斛1石3斗5升。将其换算成元数。

求出总等，保留一个数不约，去约其他各数。进行连环求等，约奇数不约偶数。如果仍然有公约数存在，就再次求等，约其中一个就要乘另一个。这样得到各个定母，相乘得到衍母，互乘得到衍数。用定数除衍数，得到奇数。用大衍求一术得到乘率，用乘率乘衍数得到用数。用各人剩下的米量乘用数，将得数相加，得到总数。用衍母去除总数，余数就是每个人分到的米量。再用人数去乘，得到总共的米量。

译解

元数：83、110、135。

连环求等化约，得到定数：83、110、27。

衍母=83×110×27=246510。

衍数：246510÷83=2970，246510÷110=2241，246510÷27=9130。

奇数：2970 mod 83=65，2241 mod 110=41，9130 mod 27=4。

乘率：23、51、7。

用数：2970×23=68310，2241×51=114291，9130×7=63910。

总数：32×68310+70×114291+30×63910=12103590。

每人米量=12103590 mod 246510=24600（升）。

原文

草曰：

置文思院〔1〕官斛八十三升，安吉州乡斛一百一十升，平江府市斛一百三十五升，各为其斛元率。

先以三率求总等，得一，不约。次以连环求等，其安吉率一百一十，与平江率一百三十五，求等得五，以约平江率，得二十七。余皆求等，得一，不约。各得定数。

以定数相乘，得二十四万六千五百一十，为衍母。各以元率约之，得二千九百七十为官斛衍数，得二千二百四十一为安吉斛衍数，得九千一百三十为平江斛衍数。

次以定母满去衍数，得不满六十五，为官斛奇。不满四十一，为安吉奇数。不满四，为平江奇数。

定母、奇数，各以大衍入之，求得乘数。得二十三为官斛乘率，得五十一为安吉乘率，得七为平江乘率。

以乘率各乘寄左行衍数，得六万八千三百一十为官斛用数，得一十一万四千二百九十一为安吉用数，得六万三千九百一十为平江用数。

次以甲余三十二升，乘官斛用数六万八千三百一十，得二百一十八万五千九百二十升于上。次以乙余七十升，乘安吉用数一十一万四千二百九十一，得八百万三百七十升于中。次以丙余三十升，乘平江用数六万三千九百一十，得一百九十一万七千三百于下。各为总，并之，得一千二百一十万三千五百九十升，为总数。满衍母二十四万六千五百一十升，去之。不满二万四千六百升，为所求率。展为二百四十六石，为三人各分米，以兄弟三人因之，得七百三十八石为共米。置分米二百四十六石，各以官斛八斗三升，安吉斛一石一斗，平江斛一石三斗五升。约之，甲得二百九十六石，余三斗二升；乙得二百二十三石，余七斗；丙得一百八十二石，余三斗。各为粜过及余米。合问。

注释

〔1〕文思院：南宋政府机构，负责颁发量器并制定标准。

译文

本题演算过程如下：

设文思院颁发的官斛容量是83升，安吉州的乡斛110升，平江府的市斛135升，各自作为元数。先将这三个元数求公约数，得到1，不约。再进行连环求等，用安吉数110和平江数135求公约数得到5，用它约平江数得27。其他数也这样求等，都得到1，不约。这样就得到了各个定数。

用定数相乘，得246510，是衍母。用各个元数去约衍母，得到官斛衍数2970，安吉斛衍数2241，平江斛衍数9130。

再用各定数除衍数，得到官斛余数65，安吉斛余数41，平江斛余数4，都作为奇数。对于定数、奇数，用大衍求一术计算，得到官斛乘率23，安吉斛乘率51，平江斛乘率7。

用乘率去乘左列的各个衍数，得到官斛用数68310，安吉斛用数114291，平江斛用数63910。

再用甲剩余的32升乘官斛用数68310，得到第一个各总2185920。再用乙剩余的70升乘安吉斛用数114291，得到第二个各总8000370。再用丙剩余的30升乘平江斛用数63910，得到第三个各总1917300。这些各总相加，得到总数12103590。用衍母246510去除总数，余数24600，就是所求之数。换算为246石，就是三个人各自分到的米量。用人数3去乘，得到总米数738石。用各自的米量246石，按照官斛8斗3升、安吉斛1石1斗、平江斛1石3斗5升分别换算，得到：甲296石，余3斗2升；乙223石，余7斗；丙182石，余3斗。这就是每个人卖出的和剩余的米量。这样就解答了问题。

术解

总米量=24600×3=73800（斗）。

甲卖出米量=24600÷83≈296.39（石）；

乙卖出米量=24600÷110≈223.64（石）；

丙卖出米量=24600÷135≈182.22（石）。

程行计地

原文

问：军师〔1〕获捷〔2〕，当早〔3〕点差〔4〕急足〔5〕三名，往都下〔6〕节节走〔7〕报。其甲于前数日申末〔8〕到，乙后数日未正到，丙于今日辰末到。据供甲日行三百里，乙日行二百四十里，丙日行一百八十里。问自军前至都里数，及三人各行日数，几何。

答曰：军前至都，三千三百里。甲行一十一日，乙行一十三日四时半，丙行一十八日二时。

注释

〔1〕军师：军队。

〔2〕获捷：得胜，打胜仗。

〔3〕早：早晨，这里指卯时，即5时。

〔4〕点差：指派，差遣。

〔5〕急足：负责传信的士兵。

〔6〕都下：京都，都城。

〔7〕走：跑，急行。

〔8〕申末：古代将一天分为12个时辰，用地支计时。申末相当于17时。后文“正末”“辰末”以此类推。

译文

问：有一支军队打了胜仗，当天早上差遣三名传信兵，迅速去京城一程程报捷。其中，甲在前几天的下午5时到达，乙在晚几天的下午2时到达，丙今天上午9时到达。已知甲每天前进300里，乙240里，丙180里。求从前线到都城距离是多少里，以及三个人各自行进了多少天。

答：从前线到都城有3300里。甲行进11日，乙行进13日4.5时辰，丙行进18日2时辰。

原文

术曰：

以大衍求之。置各行里，先求总等，存一，约众，得元里。次以连环求等，约奇复乘偶，得定母。以定相乘，为衍母。满定，除衍，得衍数。满定，去衍数，得奇。奇、定，大衍，得乘率，以乘衍数，得用数。

次置辰刻正末〔1〕，乘各行里，为实。以昼六时约之，得余里，各乘用数，并为总。满衍母，去，得所求至都里。以各日行约之得日辰刻数。

注释

〔1〕辰刻正末：泛指每人从出发至到达经过的时间中不足一天的时长。

译文

本题计算方法如下：

用大衍术计算。确定每个人每天行进的距离，先求出公约数，保留一位，约其他两数，得到元数。再进行连环求等，约奇数不约偶数，得到定数。用定数相乘，得到衍母。衍母大于定数，用定数除衍母，得到衍数。用定数除衍数，得到奇数。利用奇数和定数，使用大衍求一术，得到乘率，用乘率去乘衍数，得到用数。

然后求出每人从出发至到达所经过的时间中不足一天的时长，乘各自每日行进的距离，作为被除数。用白天的时辰数6去除，得到三人各自行进不足一天时的距离，乘用数，结果相加作为总数。用衍母除总数，得到的余数就是所求的前线至都城的距离。用各自每天行进的里数去除，就得到各自行进的时间了。

译解

原行进距离：300、240、180。公约数：60。

保留第一位，约为：300、4、3。

连环求等、复乘求定，得到定数：25、16、9。

衍母=25×16×9=3600。

衍数：16×9=144，25×9=225，25×16=400。

奇数：144 mod 25=19，225 mod 16=1，400 mod 9=4。

乘率：4、1、7。

用数：4×144=576，1×225=225，7×400=2800。

原文

草曰：

置甲三百里，乙二百四十里，丙一百八十里。先求总等，得六十。只存甲三百，勿约。乃约乙二百四十，得四。次约丙一百八十，得三。各为元数，连环求等。

先以丙乙求等，得一，不约。次以丙甲求等，得三。于术约奇不约偶。盖以等三约，三因得一，为奇，虑无衍数。乃使径先约甲三百，为一百。复以等三乘丙三，为九。既丙九为奇，甲百为偶，此即是约奇弗约偶。次以乙四与甲百求等，得四，以四约一百，得二十五，为甲。复以四乘乙四，得一十六，为乙。各为定母。

以定母相乘，得三千六百，为衍母。以各定约衍母，为衍数。甲得一百四十四，乙得二百二十五，丙得四百。

衍数各满定母，去之。不满，为奇数〔1〕。甲得一十九，乙得一，丙得四。

以各奇数与定母，用大衍入之，各得乘数。甲得四，乙得一，丙得七，各为乘率列右行。

以乘率对乘寄左行衍数，甲得五百七十六，乙得二百二十五，丙得二千八百，各为用数。

次置甲申末到者，其酉初为夜。此是甲以全日到，为无余里。次置乙于未正到，乃于卯时数至未正，得四个半辰。以四半乘乙行二百四十里，得一千八十，为实。以昼六时约之，得一百八十里，为乙行不及全日之余里。次置丙辰于末到，自卯初数至辰末，得二时，以因丙行一百八十里，得三百六十里，为实。以六时除之，得六十里，为丙行不及全日之余里。

以乙余一百八十，乘乙用二百二十五，得四万五百于中。以丙余六十，乘丙用二千八百，得十六万八千。加中，共得二十万八千五百，为总。满衍母三千六百，去之。不满三千三百里，为军前至都里。以甲三百除之，得一十一日。以乙二百四十除之，得一十三日四时半。以丙一百八十除之，得一十八日二时。合问。

注释

〔1〕奇数：这里指的是余数。与上文求定母过程中的“奇”不同。

译文

本题演算过程如下：

已知甲每天行进300里，乙240里，丙180里。先求它们的公约数，得到60。只保留甲300不约，去约乙得到4，再约丙得到3。以这些作为元数，进行连环求等。先用丙和乙求等，得到1，不约。再用丙和甲求等，得到3。根据计算方法，应当约奇数不约偶数。因为如果用3去约的话，三个元数都化成1，都是奇数，这样就担心没有衍数了。于是直接先去约甲，得到100。再用公约数3去乘丙，得到9。现在丙9是奇数，甲100是偶数，这就是约奇数不约偶数了。然后用乙4和甲100求等，得到4，用4约100得到25，就是甲。再用4乘乙，得到16，作为乙。这些就是定数。

用各定数相乘，得到3600，作为衍母。用各定数去除衍母，得到衍数。甲的衍数是144，乙225，丙400。用定数除衍数，余数就是奇数。甲的奇数是19，乙1，丙4。对各个奇数和定数，使用大衍求一术计算，得到各自的乘数。甲的乘数是4，乙1，丙7，都作为乘率写在右列。用乘率去乘左列对应的衍数，甲得到576，乙225，丙2800，都是用数。

然后考虑，甲是申时末到达，而酉时初才是傍晚，所以甲是一天之内到达的，视为没有余数。再来计算乙的时间，未时正到达，从出发的卯时起计算，是4.5个时辰。用4.5乘乙每天行进的240里，得到1080，作为被除数。用白天的时辰数6去除，得到180里，这就是乙不足一天时行进的距离。然后计算丙，辰时末到达，从卯时算起是2个时辰，乘丙每天行进的180里，得到360里，作为被除数。用6个时辰去除，得到60里，是丙行进不足一天时的距离。

用乙的余数180，乘乙的用数225，得到40500，写在中间位置。用丙的余数60，乘丙的用数2800，得到168000。和中间乙的得数相加，得到208500，是总数。用衍母3600去除总数，余数3300就是前线到都城的距离里数。用甲每天的行进距离300去除，得到11天。用乙每天240里去除，得到13天4.5时辰。用丙每天180里去除，得到18天2时辰。这样就解决了问题。

术解

时间差：甲=0（时辰），乙=4.5（时辰），丙=2（时辰）。

余数：甲=0（里），乙=4.5÷6×240=180（里），丙=2÷6×180=60（里）。

各总：

甲：0×576=0；

乙：180×225=40500；

丙：60×2800=168000。

总数=0+40500+168000=208500。

总距离=208500 mod 3600=3300（里）。

行进时间：

甲=3300÷300=11（天）；

乙=3300÷240=13.75（天）；

丙=3300÷180=18.33（天）。

程行相及

原文

问：有急足三名。甲日行三百里，乙日行二百五十里，丙日行二百里。先差丙往他处下〔1〕文字〔2〕。既〔3〕两日，又有文字遣乙追付〔4〕。已半日，复有文字续令甲赶付乙。三人偶不相及〔5〕。乃同时〔6〕俱至彼所。先欲知乙果〔7〕及丙、甲果及乙得日并里。次欲知彼处去此里数各几何。

答曰：乙果追及丙，八日，行二千里。

甲果追及乙，二日半，行七百五十里。

彼处去此，三千里。

注释

〔1〕下：下达。

〔2〕文字：文书，公文。

〔3〕既：已经。

〔4〕付：给，予。

〔5〕偶不相及：两两不同行。

〔6〕同时：这里指不同日期的同一时刻。

〔7〕果：终于，到底。

译文

问：有三个传令员，甲每天行进300里，乙250里，丙200里。先派丙去某地传递文书。过了两天，又有文书派乙去追丙交付。过了半天，又有文书需要追加，再命令甲赶去交付乙。三个人互相追赶上之后并不同行，最终达到目的地的时间恰好都和他们出发的时刻相同。先求最终乙追上丙用了多少天、走了多少里，甲追上乙用了多少天、走了多少里。再求出发地到目的地的距离。

答：乙最终追上丙用了8天，走了2000里。

甲最终追上乙用了2.5天，走了750里。出发地距离目的地共3000里。

原文

术曰：

以均输〔1〕求之，大衍入之。置乙已去日数，乘乙行里，为实。以甲、乙行里差，为法，除之，得甲及乙日数辰刻，以乘甲行，得里。次置丙既去日，乘丙行里，为实。以丙、乙行里差，为法，除之，得乙及丙日数，以乘乙行，得里。

然后置三人日行，求总等，约得元数。以连环求等，约得定母。以定相乘，得衍母。各定约衍，得衍数。满定，去衍，得奇。奇、定，大衍，得乘率。以乘寄衍，得用数。

视甲及乙里，为乙率。见乙及丙里，为丙率。以乙日行满去乙率，不满，为乙余。以丙日行满去丙率，不满，为丙余。以二余各乘本用，并之，为总。满衍去之，不满，为彼去此里。

注释

〔1〕均输：按比例分配的方法。

译文

本题计算方法如下：

用均输法和大衍术计算求解。用乙领先甲出发的天数，乘乙每天的行进距离，得数作为被除数。用甲、乙每天行进的距离差作为除数去除，得到甲追上乙的时间，用它乘甲每天行进的距离，得到甲的行进距离。再用丙领先乙出发的天数，乘丙每天的行进距离，得数作为被除数。用丙和乙每天行进的距离差作为除数去除，得到乙追上丙的天数，再用它乘乙每天行进的距离，得到乙的行进距离。

然后用三个人各自每天行进的距离求公约数，再化约得到元数。进行连环求等，化约之后得到定数。用定数相乘，得到衍母。用各个定数去约衍母，得到衍数。用定数去除衍数，得到奇数。对奇数、定数，使用大衍求一术，得到乘率。用乘率乘对应的衍数，得到用数。

将甲追上乙时甲所走过的距离称作乙的率数，乙追上丙时乙所走过的距离称作丙的率数。用乙每天行进的距离除乙的率数，得到乙的余数。用丙每天行进的距离除丙的率数，得到丙的余数。用两个余数乘各自的用数，得数相加作为总数。用衍母除总数，余数就是出发地到目的地的距离。

译解

《九章算术》对“均输术”有详细介绍，是一种按照各个项目的比例去分配相应数额的计算方法。

甲追上乙时的行进距离：

0.5×250÷（300-250）×300=750（里）。

乙追上丙时的行进距离：

2×200÷（250-200）×250=2000（里）。

原文

草曰：

置乙已去半日，乘乙日行二百五十里，得一百二十五里，为实。次置甲日行三百里，减乙行二百五十里，余五十里，为差法。除实，得二日五十刻，为甲果及乙数。以乘甲行三百里，得七百五十，为甲及乙里数。次置丙既行二日，乘丙日行二百里，得四百里，为实。次置乙行二百五十里，减丙行二百里，余五十里，为差法。除实，得八日，为乙及丙日数。以乘乙行二百五十里，得二千里，为乙行及丙之里数。已上为先欲知果及数。

次列甲、乙、丙三名日行，求总等，得五十。先约甲、丙，存乙，得甲六，乙二百五十，丙四。

以甲六丙四，求等，得二。以二约甲，为三。复以二因丙，为八。次将乙二百五十，与丙八相约，得二。乃约乙为一百二十五。复以二因丙，为十六。定得甲三，乙一百二十五，丙十六，为定母。

以定相乘，得六千，为衍母。以各定约衍母，得衍数。甲得二千，乙得四十八，丙得三百七十五。求奇数。

左上二千，以甲三去之，奇二。左中四十八，即为乙奇。左下三百七十五，以丙十六去之，奇七。

各以大衍，求得甲二，乙一百一十二，丙七，各为乘率。

以乘率对乘衍数，甲得四千，乙得五千三百七十六，丙得二千六百二十五，为泛用数。

并三泛，得一万二千〇〇一。乃多衍母一倍，当半衍母六千，得三千。以消甲四千，余一千。又消乙五千三百七十六，余二千三百七十六。丙不消。各为定用数。

既得用数，次视前草中甲及乙七百五十里，为乙率；乙及丙二千里，为丙率。各满乙丙日行里，去之。

今乙、丙二人所行，各皆适满。去之，无余。虽称同时俱至，乃各系〔1〕全日所行。便以乙、丙二人约六千里，得三千里，为彼去此里数。合问。

注释

〔1〕系：判断词，是、为。

译文

本题演算过程如下：

用乙领先甲出发的0.5天，乘乙每天距离250里，得到125里，作为被除数。然后用甲每天距离300里，减去乙250里，得到的差50里作为除数，除125里，得到2.5天，就是甲追上乙所用的时间。用它乘甲每天行进的距离300里，得到750里，是甲追上乙时的行进距离。再用丙领先乙出发的2天，乘丙每天行进的距离200里，得到400里，作为被除数。然后用乙每天行进的距离250里，减去丙200里，得到差50里，以此作为除数，除400里，得到8天，就是乙追上丙所用的时间。用它乘乙每天行进的距离250里，得到2000里，这就是乙追上丙时的行进距离。以上就是题目首先要求的相互追及时的时间和距离。

然后用三人各自每天行进的距离，求出公约数，得到50。先约甲和丙，保留乙，得到甲6、乙250、丙4。用甲和丙求公约数，得到2。用2约甲，得3。再用2乘丙，得8。然后用乙250和丙8求公约数，得到2。于是将乙约成125，再用2乘丙，得到16。求定数得到甲3、乙125、丙16，作为定母。用各定母相乘，得到6000，作为衍母。用各个定数去除衍母，得到衍数：甲2000、乙48、丙375。然后求它们的奇数。

甲的衍数2000，用甲定数2去除，余奇数2。乙的衍数48，就是乙的奇数。丙的衍数375，用丙的定数16去除，余奇数7。各自使用大衍求一术，得到乘率：甲2、乙112、丙7。用乘率对乘各自的衍数，得到泛用数：甲4000、乙5376、丙2625。三个泛用数相加，得到12001。这个数比衍母多一倍，就把衍母6000化为一半，得到3000。用这个数除甲的泛用数4000，余数1000。用3000除乙的泛用数5376，余数2376。丙不除。这些就是各自的定用数。

得到用数之后，再将前面的演算过程中所得到的甲追及乙时的行进距离750里作为乙的率数，将乙追及丙时的行进距离2000里作为丙的率数。用乙、丙各自每天的行进距离去除。

现在乙、丙两人所行进的路程，都恰好是每天行进距离的整数倍，除过后没有余数。虽然说是同一时刻到达，其实指的是每人的行进时间都是整数天。于是就用乙、丙的人数2去约衍母6000里，得到3000里，这就是到达目的地的距离。这样就解答了问题。

术解

问数：300、250、200。公约数为50。保留第二位，化约得6、250、4。

连环求等、复乘求定，得定数：3、125、16。

衍母：3×125×16=6000。

衍数：6000÷3=2000，6000÷125=48，6000÷16=375。

奇数：2000 mod 3=2，48 mod 125=48，375 mod 16=7。

乘率：2、112、7。

泛用数：2×2000=4000，112×48=5376，7×375=2625。

（4000+5376+2625）mod 6000=12001 mod 6000=1，商2。衍母=6000÷2=3000。

定用数：

甲：4000 mod 3000=1000；

乙：5376 mod 3000=2376；

丙：2625。

甲、乙、丙余数皆为0，因此各总和总数均为0。

距离=总数 mod 衍母=0 mod 3000=3000（里）。

（原文中，为了使“求余数”这一计算方法统一，因此0除以其他数字的余数就规定为“除数”。）

积尺寻源

原文

问：欲砌基一段，见管大、小方砖、六门、城砖四色。令匠取便，或平或侧。只用一色砖砌，须要适足〔1〕。匠以砖量地计料，称：用大方料，广多六寸，深少六寸；用小方料，广多二寸，深〔2〕少三寸；用城砖长，广多三寸，深少一寸；以阔，深少一寸，广多三寸；以厚，广多五分，深多一寸；用六门砖长，广多三寸，深多一寸；以阔，广多三寸，深多一寸；以厚，广多一寸，深多一寸；皆不匼匝〔3〕，未免修破转料裨〔4〕补。其四色砖，大方，方一尺三寸；小方，方一尺一寸；城砖，长一尺二寸，阔六寸，厚二寸五分；六门，长一尺，阔五寸，厚二寸。欲知基深、广几何。

答：深三丈七尺一寸，广一丈二尺三寸。

注释

〔1〕适足：充足适度，这里指完整。

〔2〕广、深：指矩形的宽边和长边。

〔3〕匼匝：周围环绕。

〔4〕裨：辅助。

译文

问：想要用砖砌一段地基，现在手里有四种砖：大方砖、小方砖、六门砖、城砖。让工匠随意取用，平放或者侧放，只能用同一种砖来砌，且必须使用整块砖。工匠用砖尺寸测量了地基，并计算所需原料，然后说：如果用大方砖，那么广度多了6寸，深度少了6寸；用小方砖，广度多2寸，深度少3寸；用城砖的长边计算，广度多3寸，深度少1寸；用城砖的宽边计算，深度少1寸，广度多3寸；用城砖的厚度计算，广度多5分，深度多1寸；用六门砖的长边，广度多3寸，深度多1寸；用六门砖的宽边，广度多3寸，深度多1寸；用六门砖的厚度，广度多1寸，深度多1寸；都不能正好合适，免不了要用碎砖料来填补。这四种砖：大方砖边长1尺3寸；小方砖边长1尺1寸；城砖，长1尺2寸，宽6寸，厚2寸5分；六门砖，长1尺，宽5寸，厚2寸。求地基的深、广各是多少。

答：深3丈7尺1寸，广1丈2尺3寸。

原文

术曰：

以大衍求之，置砖方长阔厚为元数，以小者为单，起一〔1〕。先求总等，存一位，约众位，列位多者，随意立号〔2〕。乃为元数。连环求等，约为定母。以定相乘为衍母，各定约衍母得衍数，满定，去之，得奇。奇、定，大衍，得乘率。以乘衍数，得用数。

次置广深多少数，多者乘用，少者减元数，余以乘用，并为总。满衍母，去之，不满得广深。

注释

〔1〕起一：换算成同一单位。

〔2〕立号：起代号，相当于现代数学中用x、y、z等来代替计算对象。

译文

本题计算方法如下：

用大衍术去求解，将砖的各条边长作为衍数，用最小的“分”作为单位，统一换算。先求公约数，保留一位数不约，去约其他各数。如果数字较多，可以随意给它们起代号。约后的结果作为元数。进行连环求等，再化约得到各个定数。用定数相乘得到衍母，用各个定数去除衍母得到衍数，用衍数除定数，得到奇数。对奇数、定数，使用大衍求一术，得到乘率。用乘率去乘衍数，得到用数。

然后处理用砖测量地基深、广所得到的多和少的数量，用多的数量乘用数；少的数量从元数中减去，余下的数量乘用数。再把结果加起来，得到深、广各自的总数。用衍母除总数，余数就是所求的深、广之数。

译解

本题有四种砖型，每种又有多个数据，需要将它们换算成统一的单位后，作为元数，依照大衍求一术来计算。这一过程中，为了处理简便，本题使用8种制造乐器的材料名称作为各项数据的代号，这也是数学符号意识的萌芽。

原文

草曰：

置四砖方长阔厚，系八数。城砖厚有分，为小者，皆通之为单。大方得一百三十分；小方得一百一十分；城砖长得一百二十分，阔得六十分，厚得二十五分；六门砖长得一百分，阔得五十分，厚得二十分。

锥行〔1〕置之右列，位稍多，砖名相互。今假〔2〕八音〔3〕为号位。先以最少者，自木二十，与革二十五，求等得五，乃反约木二十，为四。木四与土五十求等，得二，以约五十，为二十五。木四与匏六十求等，得四，约六十，为一十五。木四与竹百求等，得四，约一百，为二十五。木四与丝一百一十求等，得二，约一百一十，为五十五。木四与石一百二十求等，得四，反约木四，为一。以木一与金一百三十求等，得一，不约。为木与诸数求等，约讫，为一变。得数具图如后。

次以革二十五与土五十〔4〕求等，得二十五，约五十，为二。以革二十五与匏一十五求等，得五，约匏一十五，为三。以革二十五与竹二十五求等，得二十五，约竹二十五，为一。又以革二十五与丝五十五求等，得五，约丝五十五，得一十一。以革二十五与石一百二十求等，得五，约一百二十，为二十四。以革二十五与金一百三十求等，得五，约金一百三十，得二十六。革与诸数遍约讫，为二变，具图如后。

乃以土二与匏三、竹一、丝一十一求等，皆得一，不约。以土二与石二十四求等，得二，反约土二，得一。又以土一与金二十六求等，得一，不约。土与诸数约讫，为三变。具图如后。

乃以匏三与竹一、丝一十一求等，皆得一。又以匏三与石二十四求等，得三，约石二十四，为八。又匏三与金二十六求等，得一。匏与诸数约讫，以为四变。次以竹一与丝一十一、与石二十四、与金二十六求等，皆得一。竹与诸数约讫，为五变。次以丝一十一与石二十四、金二十六求等，皆得一，为六变。后以石二十四〔5〕与金二十六求等，得二，约金二十六，为一十三，至此七变。连环求等，约俱毕，得数为定母。列图如后。

注释

〔1〕锥行：排列成一头尖一头宽的形状。这里指将数字由大到小纵向排列。

〔2〕假：借。

〔3〕八音：古代指八种制造乐器的材料，包括金、石、丝、竹、匏、土、革、木。

〔4〕土五十：此处应为原文讹误，因“土”应当已经化约为25。图中和术解已修正。后文求等化约过程中还有类似之处。

〔5〕二十四：此处应为八。

译文

本题演算过程如下：

已知四种砖的长、宽、厚度，共8个数。城砖的厚度以“分”为最小的单位，于是将所有数量都换算为分。大方砖130分，小方砖110分，城砖长120分、宽60分、厚25分，六门砖长100分、宽50分、厚20分。

将这些项目和数字从大到小纵列起来，数字比较多，而且砖的名字也有重复，因此借用八音作为它们的代号。先从最小的数开始计算，用木20和革25，求得公约数5，然后反过来约木20，得到4。木4和土50再求公约数，得到2，用来约50，得25。木4和匏60求公约数，得到4，约60，得15。木4和竹100求公约数，得4，约100，得25。木4和丝110求公约数，得2，约110，得55。木4和竹石120求公约数，得4，反过来约木4，得1。用木1和金130求公约数，得1，不约。此处为木和其他各数求等，都化约之后，第一次变化就结束了。得数画图如下。（见图一）

再用革25和土50求公约数，得25，约50，得2。用革25和匏15求公约数，得5，约匏15，得3。用革25和竹25求公约数，得25，约竹25，得1。再用革25和丝55求公约数，得5，约丝55，得11。用革25和石120求公约数，得5，约120，得24。用革25和金130求等，得5，约金130，得26。这样革就和所有数都求等化约过了，这是第二次变化。结果画图如下。（见图二）

再用土2和匏3、竹1、丝11求公约数，都得到1，不约。用土2和石24求公约数，得2，反过来约土2，得1。再用土1和金26求公约数，得1，不约。土和其他各数求等化约结束，这是第三次变化。画图如下。（见图三）

再用匏3和竹1、丝11求公约数，都得1。再用匏3和石24求公约数，得3，约石24，得8。再用匏3和金26求公约数，得1。匏和其他各数求等化约结束，这是第4次变化。再用竹1和丝11、石24、金26求公约数，都得1。竹和其他各数求等化约结束，是第五次变化。再用丝11和石24、金26求等，都得1，这是第六次变化。最后用石24和金26求公约数，得2，约金26，得13，到这里已经是7次变化。这样连环求等就都化约完毕了，得数都是定母，画图如下。（见图四）

术解

图一

金	130	匏	15
石	120	土	25
丝	55	革	25
竹	25	木	1

图二

金	26	匏	3
石	24	土	2
丝	11	革	25
竹	1	木	1

图三

金	26	匏	3
石	24	土	1
丝	11	革	25
竹	1	木	1

图四

金	13	匏	3
石	8	土	1
丝	11	革	25
竹	1	木	1

原文

右定母列右行，以相乘，得八万五千八百，为衍母。以各定母约衍母，各得衍数。其竹、木、土定得一者，为无。

金定一十三，得衍数六千六百。石定八，得衍数一万七百二十五。丝定一十一，得衍数七千八百。竹定一，无衍数。匏定三，得衍数二万八千六百。土定一，无衍数。革定二十五，得衍数三千四百三十二。木定一，无衍数。各满定母，去之，得奇数。

金得奇九，石得奇五，丝得奇一，匏得奇一，革得奇七。其丝、匏得奇数一者，便以一为乘率。其金、石、革三处奇数，皆为本定母。用大衍求一入之，各得乘率，列右行。

金得三，石得五，丝得一，匏得一，革得一十八，各为乘率，对乘寄左行衍数，各得为用数。

凡诸用数同类者，数必多，可互借以补无者。先验革元数二十五，与木元数二十，为同类。求等，得五，以等五，约衍母八万五千八百，得一万七千一百六十。乃于革用数内减出以补木位，为木用。余四万四千六百一十六，为革用。次验竹元数一百，与土五十，为同类，以求等，得五十。以等五十约衍母八万五千八百，得一千七百一十六，亦于革用内各借与竹、土为用数。革止余四万一千一百八十四为用。得诸定用数。

右行定用，始列锥行假号，求得今照砖色，迁次列之。

既照砖次序，列用数于右行，乃验问题所谓：大方砖砌广多六寸；小方多二寸；城砖长多三寸，城砖阔多三寸，厚多五分；六门长多三寸，阔多三寸，厚多一寸。对本用列左行，各对乘之。具图如后。

两行乘毕，金得一百一十八万八千，丝得一十五万六千，石得一百六十万八千七百五十，匏得八十五万八千，革得二十万五千九百二十，竹得五万一千四百八十，土亦得五万一千四百八十，木得一十七万一千六百。乃并前八位数，共得四百二十九万一千二百三十分，为总。满衍母八万五千八百去之，不满一千二百三十分，约之为一丈二尺三寸，为基元广数。

译文

将定母都写在右列，相乘得到85800，作为衍母。用各定母约衍母，得到各自的衍数。竹、木、土的定数都是1，没有衍数。金定数13，衍数6600；石定数8，衍数10725；丝定数11，衍数7800；竹定数1，没有衍数；匏定数3，衍数28600；土定数1，没有衍数；革定数25，衍数3432；木定数1，没有衍数。各自用定数去除衍数，得到奇数：金奇数9，石5，丝1，匏1，革7。丝、匏的奇数都是1，就用1作为乘率。金、石、革三个奇数为各自的定母，使用大衍求一术计算，各自得到乘率，写在右列：金3，石5，丝1，匏1，革18。这些就是它们的乘率。用乘率对乘左列的衍数，得到各自的用数。

凡是用数之间存在公约数的，数字一定比较大，可以借用它们去补足无用数的地方。先检查元数革25和木20，它们是同类，求公约数得5，用5约衍母85800，得17160。从革的用数里减出这个数来补足木的位置，作为木的用数。剩下44616作为革的用数。再检查元数竹100和土50，它们是同类，求公约数得50。用50约衍母85800，得1716，也从革里面借这个数分别给竹、土作为用数。革只剩下41184作为用数。这样就得到了各个定用数。右列的定用数已经都求出了，就按照行列和代号，换成四种砖的名称，依次排列。

现在已经按照砖名的次序将用数写在右列，再看问题中的条件：用大方砖砌，广度多6寸；用小方砖砌，多2寸；用城砖砌，长边多3寸，宽边多3寸，厚多5分；用六门砖砌，长多3寸，宽多3寸，厚多1寸。将其对应各自的用数，写在左列，然后进行对乘。画图如下（见图五）。

两列遍乘，得到金1188000，丝156000，石1608750，匏858000，革205920，竹51480，土也得到51480，木171600。于是将这8个数相加，得到4291230分，就是广度的总数。用衍母85800去除，余数1230分，换算为1丈2尺3寸，就是所求的地基的广度。

术解

图五

原文

乃求其深。验问题：大方砌少六寸；小方砌少三寸；城砖长砌少一寸，阔砌少一寸，厚砌多一寸；六门长砌多一寸，六门阔砌多一寸，厚砌多一寸。列为中行。次置诸砖元数，列为左行，课减之。具图如后。

今以中行多者存之，少者用减左行。存者左行元数去之，所减者左行余数存之。金得七十，丝得八十，石得一百一十，匏得五十，革得一十，竹一十，土一十，木一十。具图如后。

列为左行，以对右行定用数。具图如后。

以左行多余数，对乘右行用数。金得一百三十八万六千，丝得六十二万四千，石得五百八十九万八千七百五十，匏得一百四十三万，革得四十一万一千八百四十，竹得一万七千一百六十，土得一万七千一百六十，木得一十七万一千六百。具图如后。

并八位得九百九十五万六千五百一十分，为总。满衍母八万五千八百，去之，不满三千七百一十分。展为三丈七尺一寸。为基地深。

译文

然后求地基的深度。对照问题：用大方砖砌少6寸；小方砖少3寸；城砖长少1寸，宽少1寸，厚多1寸；六门砖长多1寸，宽多1寸，厚多1寸。将这些数放在中间一列。然后将各砖的元数写在左列，进行相减。

现在将中行里多的数保留，少的数从左行对应元数中减去。保留的数，就去掉左行元数。相减的数，就在左行留下差。得到金70，丝80，石110，匏50，革10，竹10，土10，木10。

将这些剩余的差写在左列，对乘右列的用数。得到金1386000，丝624000，石5898750，匏1430000，革411840，竹17160，土17160，木171600。

将这8个数加起来得到9956510，就是深度的总数。用衍母85800去除，余数3710，换算为3丈7尺1寸，就是地基的深度。

术解

图六

余米推数

原文

问：有米铺，诉被盗去米一般三箩，皆适满〔1〕，不记细数。今左壁箩剩一合〔2〕，中间箩剩一升四合，右壁箩剩一合。后获贼，系甲、乙、丙三名。甲称当夜摸得马杓〔3〕，在左壁箩，满舀入布袋。乙称踢着木履，在中箩舀入袋。丙称摸得漆椀〔4〕，在右边箩舀入袋。将〔5〕归食用，日久不知数。索〔6〕到三器，马杓满容一升九合，木履容一升七合，漆椀容一升二合。欲知所失米数，计贼结断〔7〕三盗各几何。

答曰：共失米九石五斗六升三合。

甲米三石一斗九升二合，乙米三石一斗七升九合，丙米三石一斗九升二合。

注释

〔1〕适满：正好是满的。

〔2〕合：音（gě），容积单位，为升。

〔3〕马杓：即马勺，一种生活器具。原本用来装饲料或水喂马，后农村也指类似瓢的器物。北方游牧民族则将其当作锅来使用。

〔4〕椀：同“碗”。

〔5〕将：持，拿。

〔6〕索：搜寻，寻找。

〔7〕结断：断案，结案。

译文

问：有一间米铺说自己被偷了三箩相同的米，三箩都是满的，但不记得详细的量。现在左墙边的箩里剩下1合，中间墙边的箩里剩下1升4合，右墙边的箩里剩下1合。后来抓到了小偷甲、乙、丙三人。甲说当天晚上摸到一个马杓，在左边的箩里满满地舀了米装进布袋。乙说踢到一只木鞋，用它从中间箩里舀米装进袋子。丙说摸到一个漆碗，在右边箩里舀米装进袋子。他们都拿米回家吃掉了，时间长了也不知道数量多少。三样器具也都找到了，马杓容量1升9合，木鞋容量1升7合，漆碗容量1升2合。求丢失米的总量，并计算三个盗贼各自偷了多少米，以此结案。

答：总共丢失米量9石5斗6升3合。

甲偷米3石1斗9升2合，乙偷米3石1斗7升9合，丙偷米3石1斗9升2合。

原文

术曰：

以大衍求之。列三器所容，为元数。连环求等，约为定母。以相乘，为衍母。以各定约衍母，得衍数。各满定母，去之，得奇。以奇、定，用大衍，求得乘率，以乘衍数，得用数。次以各剩米乘用，并之，为总。满衍母，去之，不满，为每箩米。各以剩米减之，余为甲、乙、丙盗米，并之为共失米。

译文

本题计算方法如下：

用大衍术去求解。列出三个容器的容量，作为元数，进行连环求等，化约得到定母。定母相乘，得到衍母。用各个定母去约衍母，得到衍数。用定母去除衍数，得到奇数。对奇数、定数，使用大衍求一术，求出乘率。用乘率乘衍数，得到用数。再用各箩内所剩的米量乘用数，得数相加，得到总数。用衍母除总数，余数就是各箩米的量。减去各自剩下的米量，差就是甲、乙、丙各自偷的米量，相加就是总共丢失米的量。

译解

元数：19、17、12。

连环求等，得定数：19、17、12。

衍母=19×17×12=3876。

用大衍求一术求解。

原文

草曰：

列三器所容，一升九合、一升七合、一升二合，为元数。连环求等，皆得一，不约。便以元数相乘，得三千八百七十六，为衍母。以各元数为定母，以定约衍母，得衍数。甲得二百〇四，乙得二百二十八，丙得三百二十三，各为衍数，列左行。以三定母，甲一十九，乙一十七，丙一十二，列右行。具图如后。

各满定母，去衍数，得奇数。甲得一十四，乙得七，丙得一十一。

各以奇定，用大衍求一，各得乘率。甲得一十五，乙得五，丙得一十一，各为乘率，列右行。对寄左行衍数。具图如后。

以两行对乘之，得用数。甲得用数三千六十，乙得一千一百四十，丙得三千五百五十三。列右行。具图如后。

既得用数，始验问题三箩剩米，列左行。对三人所用，以两行对乘之。甲得三千六十，乙得一万五千九百六十，丙得三千五百五十三。

并三数，得二万二千五百七十三，为总数。满衍母三千八百七十六，去之，不满三千一百九十三。合展为三石一斗九升三合，为三箩适满细数。以左箩剩一合减之，余三石一斗九升二合，为甲盗米，又为丙盗米。以中箩剩米一升四合减之，余三石一斗七升九合，为乙盗米。并三人米，共得九石五斗六升三合，为所失米。合问。

译文

本题演算过程如下：

列出三个器具的容量1升9合（19合）、1升7合（17合）、1升2合（12合），作为元数。进行连环求等，都得到1，不约。就用各元数相乘，得到3876，是衍母。用各元数作为定母，去约衍母，得到衍数：甲204，乙228，丙323。这就是各自的衍数，写在左列。把三个定母，甲19，乙17，丙12，写在右列。

各自用定母去除衍数，得到奇数。甲得到14，乙7，丙11。对各自的奇数、定数，使用大衍求一术，得到各自的乘率：甲15，乙5，丙11。将它们写在右列，对应左列的衍数。

用两列的数字对乘，得到用数：甲3060，乙1140，丙3553，均写在右列。

得到用数后，再看原问题中三个箩里各自剩下的米量，写在左列，对应着三个人各自的用数，将两列相乘。得到甲3060，乙15960，丙3553。将这三个数字加起来，得到22573，是总数。用衍母3876除总数，余数3193，换算为3石1斗9升3合，作为三个箩装满时的详细数量。减去左边箩剩下的1合，余下3石1斗9升2合，就是甲偷去的米量，也是丙偷去的量。减去中间箩剩下的米量1升4合，余下3石1斗7升9合，就是乙偷去的米量。将三个人偷去的米量加起来，得到9石5斗6升3合，就是总共丢失的米量。于是解答了问题。

术解