1.3 控制理论与应用研究的主要问题

由于控制理论研究对象的多样性和复杂性，使得控制理论与应用方法涉及的问题也呈现出同样的特点，从自动化专业基础理论的角度来讲，仅由一本教科书是不可能做到对所有控制问题都面面俱到的，本书也只能就主要方面和问题给予基本的讨论和归纳。

1.3.1 控制理论研究的典型问题

对于不同类型的控制系统，常使人感兴趣的问题有：

● 稳定性分析与镇定设计。

● 最优控制与鲁棒控制。

● 自组织/自适应/事件触发控制。

● 网络协同控制/数据建模和数据驱动控制。

● 基于计算科学与智能算法的控制。

由于控制关联学术理论与工程实践的广泛而飞速地发展，要给上述问题以确切定义和准确的内涵说明是很困难的，有待于接触到具体问题时再给出明确的说明，实际工程中的控制问题往往需要从多个角度、多个层面来同时加以考虑。

1.3.2 控制系统的基本特性

由于控制系统的类型繁多，数学模型各不相同，因此对于控制理论及其应用作用其上所要关注和探讨的问题也需要根据目的的不同，设定成不同的形式，进而得出不尽相同的结论，但究其系统模型的本质，都必须回答以下三个基本特性：

● 稳定性。

● 瞬态特性。

● 稳态特性。

三者反映了被控对象中的相互关联而又各有侧重的基本特性。1.3.1节中归纳出的典型研究问题常常是这三个基本特性的相互结合、变形和深化的结果。这里仅为一般化定义。

定义1-1 稳态误差是指系统在参考输入作用下，t→∞时的输出响应（t→∞时的输出）与参考输入之间的差，即

式中，r（t）为参考输入；y（t）为输出响应。稳态特性指标是指对稳态误差的定量评价。

定义1-2 瞬态特性是指在参考输入作用下，在t∈［0，T］，T＜∞的时间区间内，系统输出响应的波形特性。瞬态特性也可理解为系统过渡过程的动态特性。为了定量描述瞬态特性，需引入瞬态特性指标，详见3.5节。

定义1-3 稳定性是指系统在整个t∈［0，+∞）时间区间上，不发生破坏性或不可恢复性的状态改变的性质，它是系统存在的条件。该定义只是对稳定性的形象说明。

控制系统工程对这三个基本特性的一般要求是：

● 系统应稳定并具有一定的稳定裕量，即“稳”。

● 系统响应过程符合要求的瞬态特性，以保证迅速达到正常工作状态，即“快”。

● 系统响应过程具有要求的稳态特性，以保证准确达到期望工作状态，即“准”。

1.3.3 控制系统的参考信号

控制系统分析中需要用到参考信号的概念。虽然实际工程中的信号多种多样，但在理论分析和数值仿真中，为使结果有可比性，常用典型信号作为参考信号，举例如下。

（1）阶跃函数

式中，E∈R，当E＝1时，u（t）称为单位阶跃函数，记为1（t）。显然

阶跃函数的时域波形如图1-15所示。（2）斜坡函数（又称等速度函数）

式中，K∈R称为速率系数，显然

等速度函数的时域波形如图1-16所示。

（3）抛物线函数

抛物线函数的时域波形如图1-17所示。

（4）脉冲函数（又称Dirac函数，记δ－函数）

δ－函数的时域波形如图1-18所示。

δ－函数是广义函数，具有对系统输入输出响应分析起到重要作用的数学性质，为了形象地理解这些性质，定义如下的δ_ε－函数：

其时域波形如图1-19所示。

于是，当ε→0时在极限意义下，定义

也就是说，δ－函数没有通常意义下的自变量与函数值的映射关系，需在极限意义下理解。

由式（1-12）和式（1-13），对任何ε＞0，有

所以

基于式（1-15），图1-18的δ－函数用高度为1的有向线段表示时，该线段高度表示的是δ－函数积分值，而不是说δ（t）在t＝0的幅值，请注意区别。

注意到，当f（t）为连续函数时，有

由于f（t）的连续性，由积分中值定理，，θ是满足0＜θ＜1的某常数，于是

或者更一般地写成

（5）正弦函数

式中，E∈R₊称为正弦函数的幅值，而ω∈R₊称为角频率。正弦波的时域波形如图1-20所示。

1.3.4 瞬态响应的特性指标

为了对控制系统对输入参考信号的输出响应的瞬态特性进行分析比较，常用到以下特性指标，这些指标是在系统初始状态为零的条件下定义的。

1）最大超调量δ_p，响应曲线偏离稳态值的最大值，如图1-21所示。

一般地，δ_p常以超调百分比的形式出现，定义为

2）超调时间t_p，响应曲线首次达到峰值的时间。

3）延滞时间t_d，响应值达到稳态值一半时所需要的时间。

4）上升时间t_r，响应值由稳态的10%位置升至稳态值90%所需要的时间。

5）调节时间t_s，响应曲线衰减到与稳态值相差不超过±5%或者±2%范围时所需的时间，又称过渡过程时间。

以上是瞬态特性分析中最常见的指标，视具体问题有时还需要考虑其他指标，如响应中有振荡过程时的振荡次数等。