3.2 系统对输入的稳态误差分析
从初始状态出发经过一段时间的变动调整，控制系统会进入相对平稳的工作状态。对工作状态下系统响应特性与期望特性关系的讨论就是稳态误差分析的任务。
3.2.1 稳态误差定义及其指标
稳态响应是系统在信号激励下t→∞时的系统响应情况。实际输出响应与期望输出响应间的差别常常作为衡量稳态精度的指标，具体如下。
定义3-1 稳态误差是指系统输出值与期望参考值之间的差在t→∞时的极值，即
图3-2 输入信号的稳态响应误差关系
式中，e（t）、b（t）、r（t）如图3-2所示，e（t）称为系统误差。
显然，系统稳态误差与输入参考信号r（t）以及开环传递函数有关。一般而言，ess越小越好。
3.2.2 系统按积分环节数分类
为讨论控制系统的稳态误差与传递函数之间的关系，下面将开环系统传递函数按其包含的积分环节个数分类。设系统的开环传递函数是
式（3-2）说明，开环系统中有N重积分环节相串联，或者说系统有s＝0的N重极点，称其为N型系统。比如，N＝0则称系统为0型的，N＝3则称系统为3型的。
3.2.3 稳态误差的计算方法
式（3-1）给出了稳态误差的定义公式，但直接由该公式计算是不方便的，会涉及误差信号e（t）的计算。一般可利用拉氏变换的终值定理计算，也就是说
因此，现在的关键是保证
存在和导出E（s）。从图3-2可知
将上式代入式（3-3），就有
式（3-4）说明稳态误差与输入信号和系统开环传递函数有关。另外，注意到
上式也称为误差信号与参考输入之间的传递函数。
3.2.4 各型系统稳态误差计算与比较
这里讨论N＝0，1，2，3型系统在典型信号激励下的稳态误差的计算。
（1）单位阶跃输入情形
即r（t）＝1（t）⇒R（s）＝1/s。由式（3-4），可知
其中
称为系统的位置误差系数。
（2）单位斜坡输入
即r（t）＝t⇒R（s）＝1/s2。将其代入式（3-4），则有
其中
称为系统的速度误差系数。
（3）单位抛物线输入
即r（t）＝t2/2⇒R（s）＝1/s3。将其代入式（3-4），则
其中
称为系统的加速度误差系数。
（4）其他
当系统类型给定后，上述结论和误差系数公式可进一步具体化。
1）当系统为0型时，开环传递函数是
于是
相应地，各类典型信号下的稳态误差是
2）当系统为1型时，开环传递函数是
于是
相应地，各类典型信号下的稳态误差是
3）当系统为2型时，开环传递函数是
于是
相应地，各类典型信号的稳态误差是
4）当系统型号N≥3时，显然
相应地，各类稳态误差是
e ss1＝ess2＝ess3＝0
表3-1说明，只有N≥3型的系统稳态误差才总是为零（相对于典型参考信号而言）。不过，当系统的型号N过高时，会引起闭环系统的不稳定。
表3-1 各型系统对典型参考信号的稳态误差
3.2.5 稳态误差的物理意义
为理解系统稳态误差的物理意义，这里讨论单位负反馈的各型系统响应曲线及其与稳态误差的关系。为此，考虑如图3-3所示的系统。
依系统稳态误差定义式（3-1），ess是指系统的输入参考信号与输出响应间在t→∞时的偏差。根据上面关于表3-1的讨论，可分别画出各型系统在各种典型信号下的输入输出关系曲线，由此系统稳态误差的物理意义就一目了然了。
图3-3 单位负反馈系统的框图
各型负反馈系统稳态误差如图3-4所示。
图3-4 各型负反馈系统稳态误差
a）0型 b）1型 c）2型
例3-1 已知两单位反馈系统分别如图3-5a、b所示，当参考输入为r（t）＝4+6t+3t2时，试分别求出两系统的稳态误差。
图3-5 例3-1的系统框图
解：根据式（3-4），有
而且对图3-5a、b两系统都有
于是，对于图3-5a系统有
而对于图3-5b系统有
实际上，图3-5a系统开环是1型的，它不能跟随r（t）的3t2分量，直接可得出ess＝∞；而图3-5b系统开环是2型的，它对r（t）中4+6t的稳态误差为零，故只对3t2计算稳态误差即可，而Ka＝10/4，注意到3t2⇒6/s3，于是ess＝6/Ka＝2.4。
3.2.6 稳态误差与零极点的关系
将开环传递函数表示为
由此讨论各类系统稳态误差系数与零极点的关系。具体如下。
1）当开环为0型系统时
2）当开环为1型系统时
3）当开环为2型系统时
