2.3 航天器动力学模型

探测器除了受到中心天体引力和轨道控制力外,在飞行过程中还会受到空间环境中各种摄动力的作用,这些摄动力主要包括:中心天体形状非球形和质量不均匀产生的附加引力、其他天体引力、太阳光压和可能的大气阻力以及姿态控制可能产生的干扰力等。

2.3.1　中心体引力及形状摄动势函数

在分析天体对探测器的引力作用时,常使用引力势函数,即引力场在空间任意一点的势函数U,处在该点上单位质量探测器受到的引力为

F=grad U(2⁃10)

式中,grad表示函数的梯度。此势函数与坐标系的选择无关,应用较方便。如假设天体的质量M集中于一点时,它的势函数是

U₀==(2⁃11)

式中,G为万有引力常数,M为天体质量,μ=GM为天体引力常数;r是集中质点到空间某点的距离。均匀质量的圆球天体对外部各点的势函数与整个球体质量集中于中心时的势函数相同,它的梯度方向总是指向球体中心,这就是二体问题的基础。探测器二体轨道动力学方程为

=-r(2⁃12)

式中,r为探测器相对天体中心的位置矢量。考虑天体形状摄动时,势函数包括两部分:

U=U₀+R(2⁃13)

式中,R为摄动力的势函数,称为摄动函数。

考虑天体形状摄动时,对于大行星、月球等形状接近球体的天体,一般可用球谐项展开表示其引力势函数;而对于小行星、彗星等一些椭球形天体,一般可用椭球谐项展开表示其引力势函数;对于一些形状极其特别的天体,可以采用多面体组合方法计算其引力势函数。

采用球谐项展开的引力势函数为

(2⁃14)

式中,为勒让德多项式函数;n和m分别是多项式的次数和阶数;r₀为天体的参考半径;r为探测器到天体中心的距离;ϕ和λ分别为天体的纬度和经度;和为归一化的系数。

归一化的系数与无归一化系数之间的转换关系可用下式表示:

(;)=(Cnm;Snm)(2⁃15)

式中,δ₀m为克罗内克符号函数。

勒让德多项式函数

(x)=(x)(2⁃16)

勒让德多项式

(x)=·(2⁃17)

采用椭球谐项展开的引力势函数[4]为

(2⁃18)

式中,为规范化的椭球谐项系数,考虑天体形状和密度变化,其满足

(2⁃19)

这个面积分利用了天体对应的布里渊椭球体产生的势函数,图2⁃4给出了布里渊球体与布里渊椭球体的示意图,其中,(λ₂)(λ₃)满足如下关系:

(λ₂)(λ₃)=(2⁃20)

表示第一类Lamé函数(可为、、、),n为函数的维数,p为特征值。(λ₁)和满足如下关系:

(2⁃21)

式中,s、h和k为椭球方程的参数,椭球方程如下:

++=1(2⁃22)

对于给定的x、y和z,方程(2⁃22)关于s2有三个实数根,其满足如下约束:

∈[k2,+∞),∈[h2,k2],∈[0,h2](2⁃23)

引力势函数中的椭球谐项参数计算方法见参考文献[4,5]。

采用多面体组合方法计算的引力势[6,7]为

(2⁃24)

式中,re为由引力计算点指向每个边缘任意点的矢量;Ee为由与每个边缘相关的面与边缘法线向量组成的并矢量;Le为表达一维直线势的对数项;rf为由引力计算点指向每个面上任意点的矢量;Ff为面法线向量的外积;ωf为从引力计算点出发的每个面所对的立体角。多面体组合引力势的具体计算方法见参考文献[6]和[7]。

2.3.2　其他摄动模型

2.3.2.1　其他天体引力摄动

第i个摄动天体对探测器产生的摄动加速度为

ai=μi(2⁃25)

式中,μi为第i个摄动天体的引力常数;r_pi为第i个摄动天体相对中心天体的位置,且r_pi=‖r_pi‖;r_ri为第i个摄动天体相对探测器的位置,即rii=r_pi-r,r为探测器相对天体中心的位置,且r_ri=‖r_ri‖。

2.3.2.2　太阳光压摄动

探测器受到太阳光照射时,太阳辐射能量的一部分被吸收,另一部分被反射,这种能量转换会使探测器受到力的作用,称为太阳辐射压力,简称光压。探测器表面对太阳光的反射比较复杂,有镜面反射和漫反射。在研究太阳光压对探测器轨道的影响时,可以认为光压的方向和太阳光的入射方向一致,作用在探测器单位质量上的光压可以表示为

a_s=-r_rs(2⁃26)

式中,A为垂直于太阳光方向的探测器截面积;m为探测器质量;G为太阳通量常数,有G=k'p₀,k'为综合吸收系数,Δ₀为太阳到地球表面的距离,p₀为地球表面的太阳光压强度;r_rs为太阳相对探测器的位置矢量,即r_rs=r_ps-r,r为探测器相对天体中心的位置,且r_rs=‖r_rs‖;r_ps为太阳相对天体中心的位置。

2.3.2.3　大气阻力摄动

大气对探测器所产生的阻力加速度a_d为

a_d=-c_dρv_av_a(2⁃27)

式中,c_d为阻力系数;ρ为大气密度;A为迎风面积,即探测器沿速度方向的投影面积;m为探测器的质量;v_a为探测器相对旋转大气的速度,v_a=‖v_a‖。

2.3.3　航天器动力学模型

针对所研究的问题,探测器轨道动力学方程可以选择不同的表达形式[8,9],比如轨道参数可以用球坐标、直角坐标或开普勒要素表示,摄动项可以直接用摄动力表示,也可以用摄动函数表示。

(1)用球坐标表达的轨道动力学方程

用球坐标表示天体形状和质量的不均匀性比较方便、直观。研究天体引力的摄动函数及其对探测器运动的影响,常用球坐标表示探测器的轨道动力学方程。

(2⁃28)

式中,(r,α,φ)为探测器的球坐标,r是探测器相对天体中心的距离,(α,φ)是探测器位置对应的经、纬度;ar、aα、aφ是沿球面坐标轴方向作用在探测器上的加速度。如只考虑天体引力加速度,则它们等于引力势函数U(r,α,φ)沿着三个方向的导数。

(2)用开普勒要素表达的轨道动力学方程

利用开普勒要素表达轨道,便于分析摄动力对探测器轨道要素的影响。

① 拉格朗日行星摄动方程　拉格朗日行星摄动方程是天体力学中常用的方程,其表达式为

(2⁃29)

如果确定了摄动势函数的具体表达式,就可以利用方程求解任意时刻的密切轨道要素,并根据二体问题的关系求出探测器的位置和速度。摄动方程的上述形式只适合用于摄动力可以用摄动势函数来表示的场合。更一般形式的轨道动力学方程是高斯型摄动方程。

② 高斯型摄动方程　用轨道要素表示的轨道动力学方程为

(2⁃30)

式中,a为半长轴;e为偏心率;i为轨道倾角;Ω为升交点赤经;ω为近天体角距;M为平近点角;E为偏近点角;f为真近点角;t为时间;p=a(1-e2)为半通径;n为平均轨道角速度大小;Fr、Ft、Fn分别为摄动加速度在径向、横向和轨道面法向上的分量。对于二体运动,Fr=Ft=Fn=0,=n,其余五个轨道要素都为常值。

(3)用直角坐标表达的轨道动力学方程

用直角坐标表达的轨道动力学方程为

(2⁃31)

式中,r和v分别为探测器的位置和速度;a为其他无法用摄动势函数表达的摄动力。