3.4 圆轴扭转时的应力和变形

3.4.1 圆轴扭转时横截面上的应力

在已知圆轴横截面上的扭矩后，应进一步研究横截面上的应力分布规律，以便求出整个截面的最大应力。要解决这一问题，须联合应用下列三个关系，即：根据变形现象找出变形几何关系；利用物理关系找出应力分布规律；利用静力学关系，导出应力计算公式。

1.变形几何关系

为观察实心圆轴的扭转变形，与薄壁圆筒受扭一样，在圆轴表面上做圆周线和纵向线［在图3.9(a)中，变形前的纵向线由虚线表示］。在扭转力偶矩Me作用下，得到与薄壁圆筒受扭时相似的现象。即：各圆周线绕轴线相对地旋转了一个角度，但大小、形状和相邻圆周线间的距离不变。在小变形的情况下，纵向线仍近似地是一条直线，只是倾斜了一个微小的角度。变形前表面上的方格，变形后错动成菱形。

根据观察到的现象，做下述基本假设：圆轴扭转变形前原为平面的截面，变形后仍保持为平面，形状和大小不变，半径仍保持为直线，且相邻两截面间的距离不变。这就是圆轴扭转的平面假设。按照这一假设，扭转变形中，圆轴的横截面就像刚性平面一样，绕轴线旋转了一个角度。以平面假设为基础导出的应力和变形计算公式，符合试验结果，且与弹性力学一致，这说明假设是合理的。

在图3.9(a)中，φ表示圆轴两端截面的相对转角，称为扭转角，其单位为rad。用相邻的横截面p—p和q—q从轴中取出长为dx的微段，并放大为图3.9(b)。若截面p—p和q—q的相对转角为dφ，则根据平面假设，横截面q—q像刚性平面一样，相对于p—p绕轴线旋转了一个角度dφ，半径Oa转到了Oa′。于是，表面方格abcd的ab边相对于cd边发生了微小的错动，错动的距离是

因而引起原为直角的∠abc角度发生改变，改变量

即为圆轴截面边缘上a点的切应变。显然，γ发生在垂直于半径Oa的平面内。

根据变形后横截面仍为平面，半径仍为直线的假设，用相同的方法，并参考图3.9(c)，可以求得距圆心为ρ处的切应变为

与式(a)中的γ一样，γρ也发生在垂直于半径Oa的平面内。在式(3.7)和式(3.8)中，是扭转角φ沿x轴的变化率，又称为单位长度扭转角。对一个给定的截面来说，它是常量。故式 （3.8）表明，横截面上任意点的切应变与该点到圆心的距离ρ成正比。

2.物理关系

以τρ表示横截面上距圆心为ρ处的切应力，由剪切胡克定律知

将式（3.8）代入式（3.9）得

这表明，横截面上任意点的切应力τρ与该点到圆心的距离ρ成正比。因为γρ发生在垂直于半径的平面内，所以τρ也与半径垂直，如再注意到切应力互等定理，则在纵向截面和横截面上，沿半径切应力的分布如图3.10所示。

因为式 （3.10）中的单位长度扭转角尚未求出，所以仍不能用它计算切应力，这就要用静力关系来解决。

3.静力关系

图3.11的横截面内，按极坐标取微面积dA=ρdθdρ。dA上的微内力为τρdA，对圆心的力矩为ρτρdA。积分得横截面上内力系对圆心的力矩为dA。可见，这里求出的内力系对圆心的力矩就是截面上的扭矩，即

将式(3.10)代入式(3.11)，并注意到在给定的截面上，为常量，于是有

以Ip表示上式中的积分，即

Ip称为横截面对圆心O点的极惯性矩。这样，式(3.12)便可写成

从式 （3.10）和式 （3.14）中消去，得

由以上公式，可以算出横截面上距圆心为ρ的任意点的切应力。

在圆截面边缘上，ρ为最大值R，得最大切应力为

引用记号

Wt称为抗扭截面系数，便可把式(3.16)写成

以上诸式是以平面假设为基础导出的。试验结果表明，只有对横截面不变的圆轴，平面假设才是正确的，所以这些公式只适用于等直圆杆。对圆截面沿轴线变化缓慢的小锥度锥形杆，也可近似地用这些公式计算。此外，导出以上诸式时使用了胡克定律，因而只适用于τmax低于剪切比例极限的情况。

3.4.2 常见截面的极惯性矩Ip和抗扭截面系数Wt的计算

直接用积分就可以求出圆截面的极惯性矩和抗扭截面系数，见图3.12。

取微面积dA=ρdθdρ，代入到式(3.13)中，得到极惯性矩，即

把式3.19代入到式(3.17)中得到抗扭截面系数为

对于如图3.13所示的空心圆截面，用相同的的方法可以求出其极惯性矩和抗扭截面系数：

其中，α是内径与外径之比，即

空心圆截面上的切应力分布如图3.14所示。

【例3.2】 如图3.15（a）所示的一端固定的阶梯圆轴，受到外力偶M1和M2的作用，M1=1800N·m，M2=1200N·m。求固定端截面上ρ=25mm处的切应力，以及轴内的最大切应力。

解：(1)画扭矩图。用截面法求阶梯圆轴的内力并画出扭矩图［图3.15(b)］。

(2)求固定端截面上指定点的切应力。

(3)求最大切应力。分别求出粗段和细段内的最大切应力：

比较后得到圆轴内的最大切应力发生在细段内：

由此可知，直径对切应力的影响比扭矩对切应力的影响要大，所以在阶梯圆轴的扭转变形中，直径较小的截面上往往发生较大的切应力。