第一节 李雅普诺夫稳定性的定义

线性系统的稳定性取决于系统的结构参数，与系统的初始条件及外界扰动的大小无关；而非线性系统的稳定性则与初始条件及外界扰动的大小都有关系。在经典控制理论中没有给出同时适用于线性系统与非线性系统的一般的稳定性定义。李雅普诺夫直接法是一种普遍方法，对于线性系统与非线性系统都适用。李雅普诺夫给出了对于任何系统都适用的关于稳定性的一般定义。

一、状态向量的平衡状态及球域

（一）状态向量的平衡状态

设系统的状态方程为

设当f(x_e,t)=0时的x_e为系统的平衡状态。由于对于任意的平衡状态，都可以通过适当的线性变换将它转换至状态空间的原点，所以不失一般性，可以把平衡状态取为状态空间的原点，即x_e=0。

（二）状态向量的范数

状态向量x与其平衡状态的距离可用范数表示。若平衡状态选为坐标原点，则状态向量至坐标原点的距离可用范数表示。对于n维状态空间，有

（三）n维状态空间中的球域S（ε)

在n维状态空间中的球域S（ε）是表示这样的一个空间，在此空间中的任一点至状态空间的原点的长度（即范数）都小于ε。显然，二维空间中的球域S（ε）为一半径是ε的圆，三维空间中的球域S（ε）为半径为ε的圆球。而对于n维状态空间，S（ε）则是一个用n维状态变量组成的抽象状态空间。

二、李雅普诺夫稳定性的定义

稳定性的物理意义是指一个系统的响应是否有界。李雅普诺夫将系统的稳定性定义为三种情况：

（一）稳定

系统的平衡状态为x_e=0。设系统处于某一初始状态x（0），当系统受到一个扰动时，系统的状态响应的幅值（即范数）是有界的，则称系统是稳定的。

将系统稳定的情况用数学公式来表示就是：对于任意的ε＞0，必有δ＞0，使得＜δ就能保证＜ε，则对应的系统就叫作稳定的。

（二）渐近稳定

系统的平衡状态为x_e=0，设系统处于某一初始状态x（0），当系统受到一个扰动，系统状态响应的幅值（范数）最终总会回到原来的平衡状态时，则称系统时渐近稳定的。

将系统渐近稳定的情况用数学公式表示就是：对于任意的ε＞0，必有δ＞0，使得当＜δ时，不仅＜ε，而且有=0，则系统是渐近稳定的。

（三）不稳定

设系统处于某个初始状态x（0），当系统受到一个扰动时，系统状态响应的幅值（范数）是无界的，则称系统是不稳定的。

将系统不稳定的情况用数学公式表示就是：对于某一ε＞0，无论怎样取δ＞0，＜δ时，总能找到某个t＞0，使得＞ε，则系统是不稳定的。

三、关于李雅普诺夫稳定性定义的讨论

从上面给出的李雅普诺夫的三种情况的定义可以看出，球域S(δ）限制着初始状态x(0)，这反映了非线性系统的情况，而线性系统则不存在这个限制。如果δ任意大，系统都是渐近稳定的，则称这个系统是大范围渐近稳定的。显然，线性系统若是渐近稳定的，就都是大范围渐近稳定的，而非线性系统就不一定是这样的。

李雅普诺夫的稳定性定义还表明，球域S(ε）给出了系统响应的边界。实际上对于线性系统，只有渐近稳定的系统才叫作稳定的。在经典控制理论中，只有线性系统才有明确的定义。而李雅普诺夫的稳定性定义则概括了线性系统与非线性系统的一般情况。