3.3　均值与方差的点估计

在实际问题中，根据子样的数据，计算出的子样特征数与S2，通常用来作为相应总体特征数的估计量。对于服从正态分布的总体，均值为μ，方差为σ2（参见2.6节）。当子样是从一正态分布的总体中随机抽出的一部分时，可用子样平均值去估计该总体的均值μ，而用子样方差S2去估计总体方差σ2，这在数理统计中称为点估计，即

其中，“^”为估计量的符号。用子样特征数去估计总体特征数，很重要的一点是前者为后者的无偏估计量。也就是说，当用 作为 或用S2作为 时，子样特征数应满足这样的要求，即它的数学期望（统计平均）应当等于它所估计的参数本身，即

这个要求称为无偏性。

我们通常计算的算术平均值是满足这个要求的。根据概率论中数学期望的性质，有

由于x1，x2，…，xn相互独立，都是随机变量x的估计值，因此，可把子样值xi看成是一随机变量，且与随机变量x有相同的理论分布和理论均值μ。于是，式（3-7）变为

至此，式（3-5）得证。该式表明，子样均值 是总体均值μ的一个无偏估计量。

所谓无偏估计，当然不是说用无偏估计量来估计不产生偏离，只是说由于子样数据算出的估计值离被估计值很近，由不同子样得到的估计值在被估计值附近波动，大量估计值的平均值能够消除估计值对被估计值的偏离。正是根据子样平均值是总体均值的无偏估计值这一观点，重复测定某一物理量，如测定值的分布服从正态分布，则算术平均值即为一组等精度测量中的最佳值或最可信赖值。换句话说，算术平均值很接近真值μ（总体均值）。可以证明，算术平均值与测定值偏差的平方和最小。

设有一不等于算术平均值的任一数A，则必有

对式（3-9）的证明如下：

由式（3-9）左边得

移项得

因A≠ ，又n是正整数，则必有

即

所以

于是，式（3-9）得证。

子样平均值可作为总体均值μ的最佳估计值，这只给出了问题的一个方面。一般来说，子样均值并不等于总体均值μ。换句话说，用去估计μ是有误差的。人们往往对这一方面也是很关心的，所以有必要介绍以下平均值的标准差。

下面根据概率论中方差的性质来进行推导：

由于x1，x2，…，xn相互独立，都是随机变量x的估计值，与随机变量x具有相同的分布和理论方差σ2。因此，式（3-11）变为

该式表明，算术平均值的方差是该总体方差σ2的1/n。由式（3-12），得

即平均值的标准差 是平均值方差的开平方。通常，总体标准差σ是未知的，所以算术平均值的标准差常用下式表示，即

这个公式表明了平均值的标准差与子样标准差S的关系。当标准差S不变时，n增大，算术平均值的标准差减小，即用作为估计的精度高。这个结论给我们以启示，在分析测定时，测定次数（子样容量）n不能太小，否则算术平均值的误差将增大。但要注意，对于式（3-14），S不变时，n>5以后，子样均值的标准差随n的增大而减小得很慢。这就是说，单靠增加观测次数来提高实验的精密度是不够的。这就意味着，要把更多的精力用来改进测试技术，往往比重复老一套的测试精度不高的测量更有意义。因此，在实际测定某一量时，由于多方面条件的限制，重复测定的次数n很少超过50次，一般在4～20次左右。

下面来证明式（3-6），由式（3-2）

同式（3-10）的推导类似，有

根据概率论中数学期望的性质、方差的定义及式（3-12），有

由于σ2的估计量S2的数学期望，等于被估计参数σ2的本身，这就证明了S2是σ2的无偏估计量。