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命题III.20
在一个圆中,同弧所对的圆心角等于圆周角的两倍。
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设:圆为ABC,∠BEC是圆心角,∠BAC是圆周角,它们有共同的以BC为底的弧。
求证:∠BEC是∠BAC的两倍。
令:连接AE,并延长至F。
因为EA等于EB,∠EAB也等于∠EBA,所以:∠EAB、∠EBA的和是∠EAB的两倍(命题I.5)。
又,∠BEF等于∠EAB与∠EBA之和,所以:∠BEF也等于∠EAB的两倍(命题I.32)。
同理,∠FEC也等于∠EAC的两倍。
所以:∠BEC是∠BAC的两倍。
又,令另一条直线移动位置,构成另一个∠BDC,连接DE并延长至G。
同样,能证明∠GEC是∠EDC的两倍,其中∠GEB是∠EDB的两倍。所以:余角∠BEC是∠BDC的两倍。
所以:在一个圆中,同弧所对的圆心角是圆周角的两倍。
证完
注解
这一命题应用在下一命题中,也应用在命题III.27、VI.33中。