第5章概率与概率分布_2020年统计学考研题库【章节题库＋名校考研真题＋模拟试题】-QQ阅读中文都市网

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第5章　概率与概率分布

一、单项选择题

1．一射手进行了三次射击，A_i表示第i次射击击中目标这一事件，下面正确表述了事件A₁A₂＋A₁A₃＋A₂A₃的是（　　）。[武汉大学2015研]

A．恰有两次击中目标

B．至少两次击中目标

C．最多两次击中目标

D．三次都击中目标

【答案】B

【解析】并集表示集合中的事件至少有一个发生，则事件A₁A₂＋A₁A₃＋A₂A₃中A₁A₂、A₁A₃和A₂A₃中至少有一个发生，即至少两次击中目标。

2．假设随机变量的概率密度函数为f（x），即X～f（x），数学期望μ和方差σ²都存在。样本X₁，…，X_n取自X，是样本均值，则有（　　）。[山东大学2015研]

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】A项，样本均值的数学期望为μ，方差为σ²/n，故的概率密度不是f（x）。B项，X_i的分布函数为1－1－F(x)ⁿ，故X_i的概率密度为n[1－F(x)]ⁿ^－1·f(x)。C项，X_i的分布函数为Fⁿ(x)，故X_i的概率密度为nFⁿ^－1(x)·f(x)。D项，由于样本X₁，…X_n取自X，则X₁，…X_n相互独立，其联合概率密度为。

3．已知P(A)＝a，P(B)＝b，P(A∪B)＝c，则为（　　）。[对外经济贸易大学2015研]

A．a(1－b)

B．a－b

C．c－b

D．a(1－c)

【答案】C

【解析】

4．设A、B是概率不为0的不相容事件，下列结论中正确的是（　　）。[华中农业大学2015研]

A．与相容

B．与不相容

C．P（AB）＝P（A）P（B）

D．P（A－B）＝P（B）

【答案】D

【解析】A与B互不相容，则B－A＝B，即P（B－A）＝P（B）。A项，当A与B不对立时成立；B项，当A与B对立时成立；互不相容与相互独立不是等价的，C项，只有在A与B相互独立时才成立。

5．两个人轮流抛一个骰子，约定谁先抛出6谁获胜，则后抛者获胜的概率为（　　）[中山大学2014研]

A．1/2

B．5/12

C．6/11

D．5/11

【答案】D

【解析】由于是轮流掷骰子，所以第一个人获胜的概率为

第二个人获胜的概率为

则有，解方程，得，则。

6．设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，则下列条件中导出参数λ＝2的条件是（　　）[中山大学2014研]

A．EX＝1/2

B．Var(X)＝1/4

C．P{X＝1}＝P{X＝2}

D．P{X＝2}＝2P{X＝1}

【答案】C

【解析】AB两项，泊松分布的期望和方差均为参数λ，即若参数λ＝2，应有EX＝λ＝2，Var(X)＝λ＝2。CD两项，泊松分布的概率分布函数为

因此

7．设随机变量X～N（μ，σ²），则随σ的增大，概率P{│X－μ│≤σ}（　　）[中山大学2014研]

A．单调增大

B．单调减小

C．保持不变

D．增减不定

【答案】C

【解析】原分布服从正态分布，即X～N（μ，σ²），则

即Z服从标准正态分布。P{│X－μ│≤σ}＝P{≤1}＝P{－1≤≤1}＝，为一定值，与σ无关。

8．随机变量

记

则（　　）[浙江工商大学2014研]

A．对任何实数μ，都有p₁＞p₂

B．对任何实数μ，都有p₁＝p₂

C．对任何实数μ，都有p₁＜p₂

D．对个别实数μ，都有p₁＝p₂

【答案】B

【解析】

因此对，都有。

9．从0－1分布总体中进行不放回抽样，样本中取值为1的个体数服从（　　）。[中央财经大学2014研]

A．两点分布

B．二项分布

C．超几何分布

D．泊松分布

【答案】C

【解析】超几何分布的模型是不放回抽样，描述由有限个物件中抽出n个物件，成功抽出指定种类的物件的次数。

10．设每日登陆A购物网站的人数服从均值参数λ＝2000的泊松分布，而进入该网站的每个人购买商品B的概率均为0.0001，且每个人是否购物是独立的。则每天商品B被购买的概率为______。[中国科学技术大学2013研]

A．1/5

B．2/5

C．

D．

【答案】D

【解析】由于每日登陆网站的人数服从λ＝2000的泊松分布，因此每日平均有2000人登陆网站，所以每日商品B被购买的概率为1－（1－0.0001）²⁰⁰⁰。

11．若随机事件A和C独立，B和C独立，则A＋B和C______。[中国科学技术大学2013研]

A．独立

B．不独立

C．不一定独立

【答案】C

【解析】若事件A和C独立，B和C独立，则有P(AC)＝P(A)P(C)，P(BC)＝P(B)P(C)，P(A∪B)P(C)＝(P(A)＋P(B)－P(AB))P(C)＝P(A)P(C)＋P(B)P(C)－P(AB)P(C)＝P(AC)＋P(BC)－P(AB)P(C)。另一方面，P((A∪B)C)＝P(AC∪BC)＝P(AC)＋P(BC)－P(ABC)。只有当事件A∩B与事件C相互独立时，即P(AB)P(C)＝P(ABC)时，有P(A∪B)P(C)＝P((A∪B)C)，此时A＋B与C独立；其他情形A＋B与C不独立。

12．设是独立同分布的随机变量，服从标准正态分布，记

已知标准正态分布的0.95分位数，则的分布的0.95分位数是（　　）。[华东师范大学2013研]

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】由题意可知，的分布为，记的分布的0.95分位数是，则有

可以得到。

13．设X为一随机变量，其期望为，C为任意常数，则（　　）[中山大学2014研]

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】E（X－C）²＝E（X－EX＋EX－C）²＝E（X－EX）²＋2（EX－C）·E（X－EX）＋（EX－C）²＝E（X－EX）²＋0＋（EX－C）²≥E（X－EX）²。

14．一项试验中所有可能结果的集合称为（　　）。

A．事件

B．简单事件

C．样本空间

D．基本事件

【答案】C

【解析】在同一组条件下，对某事物或现象所进行的观察或实验称作试验，观察或试验的结果称作事件。如果一个事件不能分解成两个或更多个事件，则这个事件称为基本事件或者简单事件。一个试验中所有的简单事件的全体称为样本空间或基本空间。

15．每次试验可能出现也可能不出现的事件称为（　　）。

A．必然事件

B．样本空间

C．随机事件

D．不可能事件

【答案】C

【解析】随机事件是指在同一组条件下，每次试验可能出现也可能不出现的事件，也叫偶然事件。必然事件是指在同一组条件下，每次试验一定出现的事件。不可能事件是指在同一组条件下，每次试验一定不出现的事件。

16．抛3枚硬币，用0表示反面，1表示正面，其样本空间为Ω＝（　　）。

A．{000，001，010，100，011，101，110，111}

B．{1，2，3}

C．{0，1}

D．{01，10}

【答案】A

【解析】样本空间为一个试验中所有的简单事件的全体。抛3枚硬币，每抛一次都是由0和1组成的一个三位数的组合，所有的组合构成了样本空间，即{000，001，010，100，011，101，110，111}。

17．随机抽取一只灯泡，观察其使用寿命，其样本空间为Ω＝（　　）。

A．{}

B．{}

C．{}

D．{}

【答案】D

【解析】一个试验中所有的简单事件的全体称为样本空间或基本空间。灯泡的使用寿命样本空间为Ω＝{}。

18．抛掷一枚硬币，观察其出现的是正面还是反面，并将事件A定义为：事件A＝“出现正面”，这一事件的概率记作P(A)。则概率P(A)＝1/2的含义是（　　）。

A．抛掷多次硬币，恰好有一半结果正面朝上

B．抛掷两次硬币，恰好有一次结果正面朝上

C．抛掷多次硬币，出现正面的次数接近一半

D．抛掷一次硬币，出现的恰好是正面

【答案】C

【解析】概率的统计定义：在相同条件下随机试验次，事件A出现次，则比值称为事件A发生的频率。随着的增大，该频率围绕某一常数上下波动，趋于稳定，这个频率的稳定值即为该事件的概率，记为P(A)。故概率P(A)＝1/2的含义是抛掷多次硬币，出现正面的次数接近一半。

19．抛掷一枚骰子，并考察其结果。其点数为1点或2点或3点或4点或5点或6点的概率为（　　）。

A．1

B．1/6

C．1/4

D．1/2

【答案】A

【解析】在掷骰子试验中，样本空间为Ω＝{1，2，3，4，5，6}。因此其结果的点数为1点或2点或3点或4点或5点或6点是个必然事件，概率为1。

20．一家计算机软件开发公司的人事部门做了一项调查，发现在最近两年内离职的公司员工中有40%是因为对工资不满意，有30%是因为对工作不满意，有15%是因为他们对工资和工作都不满意。设＝员工离职是因为对工资不满意；＝员工离职是因为对工作不满意。则两年内离职的员工中，离职原因是因为对工资不满意，或者对工作不满意，或者二者皆有的概率为（　　）。

A．0.40

B．0.30

C．0.15

D．0.55

【答案】D

【解析】由于＝员工离职是因为对工资不满意；＝员工离职是因为对工作不满意。则有

则员工离职原因是因为对工资不满意，或者对工作不满意，或者二者皆有的概率为

21．一家超市所作的一项调查表明，有80%的顾客到超市是来购买食品，60%的人是来购买其他商品，35%的人既购买食品也购买其他商品。设＝顾客购买食品，＝顾客购买其他商品。则某顾客来超市购买食品的条件下，也购买其他商品的概率为（　　）。

A．0.80

B．0.60

C．0.4375

D．0.35

【答案】C

【解析】由于＝顾客购买食品，＝顾客购买其他商品。则有

，

则

22．一家报纸的发行部已知在某社区有75%的住户订阅了该报纸的日报，而且还知道某个订阅日报的住户订阅其晚报的概率为50%。设＝某住户订阅丁日报；另一某个订阅了日报的住户订阅了晚报，则该住户既订阅日报又订阅晚报的概率为（　　）。

A．0.75

B．0.50

C．0.375

D．0.475

【答案】C

【解析】记事件为某住户订阅了晚报。已知，，则该住户既订阅日报又订阅晚报的概率为

23．某考生回答一道四选一的考题，假设他知道正确答案的概率为1/2，而他不知道正确答案时猜对的概率应该为1/4。分别定义事件＝该考生答对了；＝该考生知道正确答案，考试结束后发现他答对了，那么他知道正确答案的概率为（　　）。

A．1

B．0.25

C．0.5

D．0.8

【答案】D

【解析】

则

24．一部电梯在一周内发生故障的次数及相应的概率如表5-1所示：

表5-1

表中的值为（　　）。

A．0.35

B．0.10

C．0.25

D．0.30

【答案】D

【解析】对于离散型随机变量有

则0.1＋0.25＋0.35＋α＝1，得到α＝0.3。

25．一家电脑配件供应商声称，他所提供的配件100个中拥有次品的个数X及概率如表5-2所示。

表5-2

则该供应商次品数的标准差为（　　）。

A．0.43

B．0.84

C．0.12

D．0.71

【答案】B

【解析】由于

代入数据可得。

26．指出下面关于n重贝努里试验的陈述中哪一个是错误的（　　）。

A．一次试验只有两个可能结果，即“成功”和“失败”

B．每次试验成功的概率P都是相同的

C．试验是相互独立的

D．在n次试验中，“成功”的次数对应一个连续型随机变量

【答案】D

【解析】试验“成功”或“失败”可以计数，即试验结果对应于一个离散型随机变量。

27．已知一批产品的次品率为4%，从中有放回地抽取5个。则5个产品中没有次品的概率为（　　）。

A．0.815

B．0.170

C．0.014

D．0.999

【答案】A

【解析】5个产品中没有次品的概率为

28．指出下面的分布中哪一个不是离散型随机变量的概率分布（　　）。

A．0－1分布

B．二项分布

C．泊松分布

D．正态分布

【答案】D

【解析】正态分布是连续型随机变量的概率分布。

29．假定某公司职员每周的加班津贴服从均值为50元、标准差为10元的正态分布，那么全公司中每周的加班津贴在40元60元之间的职员比例为（　　）。

A．0.9772

B．0.0228

C．0.6826

D．0.3174

【答案】C

【解析】设每周的加班津贴为X，则有：

30．若掷一枚骰子，考虑两个事件：：骰子的点数为奇数；：骰子的点数大于等于4，则条件概率＝（　　）。

A．1/3

B．1/6

C．1/2

D．1/4

【答案】A

【解析】，，。则有

31．推销员向客户推销某种产品成功的概率为0.3。他在一天中共向5名客户进行了推销，则成功谈成客户数不超过2人的概率为（　　）。

A．0.1681

B．0.3602

C．0.8369

D．0.3087

【答案】C

【解析】记事件为推销员在一天中成功谈成的客户数，则有，可得

32．一种电梯的最大承载重量为1000公斤，假设该电梯一次进入15人，如果每个人的体重（公斤）服从N(60，15²)，则超重的概率为（　　）。

A．0.0427

B．0.0528

C．0.0785

D．0.0142

【答案】A

【解析】15个人的体重是相互独立的，设X_i为第（＝1，2，…，15）个人的体重

则

则有

二、多项选择题

1．设A、B为任意两事件，则下列关系成立的有（　　）。

A．

B．

C．

D．

E．

【答案】BD

【解析】A项

C项

E项

2．常见的离散型分布有（　　）。

A．二点分布

B．二项分布

C．均匀分布

D．泊松分布

E．超几何分布

【答案】ABDE

【解析】随机变量可以分为离散型随机变量和离散型随机变量。其中，如果随机变量X的所有取值都可以逐个列举出来，则称X为离散型随机变量。如果随机变量X的所有可能取值不可以逐个列举出来，而是取数轴上某一区间内的任一点，则称该随机变量为连续型随机变量。二点分布、二项分布、泊松分布和超几何分布属于离散型分布；均匀分布属于连续型分布。

3．常见的连续型分布有（　　）。

A．二项分布

B．均匀分布

C．泊松分布

D．超几何分布

E．正态分布

【答案】BE

4．概率密度曲线（　　）。

A．位于X轴的上方

B．位于X轴的下方

C．与X轴之间的面积为0

D．与X轴之间的面积为1

E．与X轴之间的面积为无穷大

【答案】AD

5．下列选项中正确的是（　　）。

A．设A₁，A₂，…，A_n是一个完备事件组，则：

B．设A₁，A₂，…，A_n是一个完备事件组，则：

C．

D．

E．P（A|B）＝P（A）/P（B）

【答案】AB

【解析】当事件A和B相互独立时，有

由于

所以当时

才成立；P（A|B）＝P（AB）/P（B），所以当P（AB）＝P（A），即时，有P（A|B）＝P（A）/P（B）。

三、判断题

1．概率的基本法则是，如果一个给定事件的所有可能性都相同，那么某个特定结果出现的概率等于1除以所有可能性的个数。（　　）[西安交大2005研]

【答案】×

【解析】概率的古典定义是，如果某一随机试验的结果有限，而且各个结果出现的可能性相等，则某一事件A发生的概率为该事件所包含的基本事件数m与样本空间中所包含的基本事件数n的比值。题目中并未说明给定事件的可能结果有限。

2．任意随机变量的数学期望和方差都存在。（　　）[东北财大2005研]

【答案】×

【解析】柯西分布的数学期望和方差都不存在，其密度函数为

3．若两个独立随机变量和均服从二项分布，而不一定服从二项分布。（　　）[东北财大2005研]

【答案】×

【解析】由二项分布的可加性知，两个服从二项分布的独立随机变量的和仍服从二项分布。

4．设A、B为两事件，并且

则。（　　）

【答案】

【解析】若A与B相互独立，则

若A与B相容，则

故。

5．概率密度曲线位于X轴的上方并且与X轴之间的面积为1。（　　）

【答案】√

【解析】概率密度函数是指用来代表连续型随机变量的概率分布的一种公式或运算，它的值始终大于等于0，所以位于X轴的上方，并且与X轴之间的面积为1。

6．若在实际应用中所处理的变量并不是严格的连续型变量，则不能使用正态分布。（　　）

【答案】×

【解析】在实际应用中，如果所处理的变量并不是严格的连续型变量，可以通过连续校正，然后再使用正态分布。

四、简答题

1．事件A与B独立，B与C独立，但A＋B与C不一定独立，举例说明。[武汉大学2015研]

答：举例说明：

由题意可知，可以假设事件A＝｛所有的奇数｝，事件B＝｛所有的偶数｝，事件C＝｛大于2的质数｝。

所以，A与B独立，B与C独立，但是事件（A＋B）与事件C并不独立。

2．简述指数分布。[南京大学2015研]

答：（1）指数分布的概念

如果随机变量X的概率密度函数为：则称X服从参数为λ的指数分布，记作X～Exp（λ）。

（2）指数分布的期望值和方差：如果随机变量X～E（λ），则E（X）＝1/λ，D（X）＝1/λ²。

（3）指数分布的无记忆性

如果随机变量X~E(λ)，则对任意的s＞0，t＞0，有P(X＞s＋t|X＞s)＝P(X＞t)

指数分布有无记忆性，直观地讲就是，从原分布的任意一时刻开始的分布与原分布相同。故又把指数分布称为“永远年轻”的分布。

（4）指数分布与泊松分布的联系

如果某一事件在特定时间间隔内发生的次数服从泊松分布，则该事件先后两次发生之间的时间间隔服从指数分布。

3．在测量一物体长度时，一般采用多次测量结果的平均值作为长度的估计值。试用重复独立实验（随机变量序列）的数字特征给出合理的解释。[华中农业大学2015研]

答：由大数定理和中心极限定理可知，独立同分布的随机变量X₁，X₂，…， X_n的算术平均，当n充分大时近似地服从均值为μ，方差为σ²/n的正态分布。因而，进行大量的重复独立实验下，序列依概率收敛于μ，即，故可以用多次测量结果的平均值作为物体长度的估计值。

4．简述正态分布的“3σ原则”。（注：，，）[浙江工商大学2014研]

答：正态分布的“3σ原则”是指对于正态分布，经验法则表明：约有68%的数据在平均数±1个标准差的范围之内；约有95%的数据在平均数±2个标准差的范围之内；约有99%的数据在平均数±3个标准差的范围之内。即在

以外的取值概率不到0.3%，几乎不可能发生，称为小概率事件。

5．全概率公式与逆概率公式分别用于什么场合？

答：（1）全概率公式为：

其中，B₁，B₂，…，是互不相容的事件且B₁∪B₂∪…∪＝Ω，P（B_i）＞0，＝1，2，…，n。

如果对于某一复杂事件A的概率，能够构造合适的完备事件组，使得这些事件的概率和给定这些事件下A的条件概率较易于确定，就可以用全概率公式。

（2）逆概率公式也称贝叶斯公式，即

式中：B₁，B₂，…，表示完备事件组。

逆概率公式是要在事件A已经发生的条件下来计算完备事件组B₁，B₂，…，中每个事件的发生概率。

6．二项分布与超几何分布的适用场合有什么不同？它们的均值和方差有什么区别？

答：（1）从理论上讲，二项分布只适合于重复抽样（即从总体中抽出一个个体观察完后放回总体，然后再抽下一个个体）。但在实际抽样中，很少采用重复抽样。不过，当总体的元素数目N很大而样本量n相对于N来说很小时，二项分布仍然适用。

但如果是采用不重复抽样，各次试验并不独立，成功的概率也互不相等，而且总体元素的数目很小或样本量n相对于N来说较大时，二项分布就不再适用，这时，样本中“成功”的次数则服从超几何概率分布。

（2）若X服从二项分布B（n，p），则E（X）＝，D（X）＝。

若Y服从超几何分布H（n，N，M），则

7．正态分布所描述的随机现象有什么特点？为什么许多随机现象服从或近似服从正态分布？

答：（1）正态分布所描述的随机现象具有如下特点：

①正态曲线的图形是关于x＝的对称钟形曲线，且峰值在x＝处；

②正态分布的两个参数均值和标准差一旦确定，正态分布的具体形式也就唯一确定，不同参数取值的正态分布构成一个完整的“正态分布族”。

③正态分布的均值可以是实数轴上的任意数值，它决定正态曲线的具体位置，标准差相同而均值不同的正态曲线在坐标轴上体现为水平位移。

④正态分布的标准差为大于零的实数，它决定正态曲线的“陡峭”或“扁平”程度。越大，正态曲线越扁平；越小，正态曲线越陡峭。

⑤当X的取值向横轴左右两个方向无限延伸时，正态曲线的左右两个尾端也无限渐近横轴，但理论上永远不会与之相交。

⑥与其他连续型随机变量相同，正态随机变量在特定区间上的取值概率由正态曲线下的面积给出，而且其曲线下的总面积等于1。

（2）如果原有总体是正态分布，那么，无论样本量的大小，样本均值的抽样分布都服从正态分布。若原有总体的分布是非正态分布，随着样本量n的增大（通常要求n≥30），不论原来的总体是否服从正态分布，样本均值的抽样分布都将趋于正态分布，其分布的数学期望为总体均值，方差为总体方差的1/n。这就是统计上著名的中心极限定理。因此许多随机现象服从或近似服从正态分布。

8．在什么条件下用正态分布近似计算二项分布的概率效果比较好？

答：当样本量n越来越大时，二项分布越来越近似服从正态分布。这时，二项随机变量的直方图的形状接近正态分布的图形形状。

即使对于小样本，当p＝0.5时，二项分布的正态近似仍然相当好，此时随机变量X的分布是相对于其平均值＝对称的。当p趋于0或1时，二项分布将呈现出偏态，但当n变大时，这种偏斜就会消失。一般来说，只要当n大到使和n（1－p）都大于或等于5时，近似的效果就相当好。

五、计算题

1．一个信息从a传到b，从b传到c，再由c公布信息。每次一个人接收到一个信息后，能将接收到的信息正确的传给下一个人的概率为1/3（包括c最后公布信息的时候）。设a最初接收到的信息为R，最后c公布的信息也为R，问a正确传递消息的概率。[上海交通大学2016研]

解：记a公布的信息为R（即传递了正确信息）为事件A，b公布的信息为R为事件B，c公布的信息为R为事件C。则当a最初收到的信息为R，c公布的信息也为R的消息传递情况有以下四种，如表5-3所示。

表5-3

则在a最初接收到的信息为R，最后c公布的信息也为R的条件下，a正确传递消息的概率为：

2．甲乙两个抽屉中各有3个白球、2个黑球，从甲抽屉中取1个球放入乙抽屉中，再从乙抽屉取4个球放入甲抽屉，X表示4个球中黑球的个数，求X的分布律？[南开大学2016研]

解：记从甲抽屉中取得1个球为黑色为事件A，则P(A)＝。

由题可知X的取值可以为0，1，2，3。则X的分布律为：

3．设正态分布随机变量X～N（12，9）与Y～N（10，16）相互独立。

（1）分别求U＝2X＋Y与V＝X－Y的分布，并说明U与V是否独立；

（2）求概率P{12＜X＋Y＜32}。（用标准正态分布函数Ф（X）表示）[中山大学2014研]

解：（1）EX＝12，DX＝9，EY＝10，DY＝16，且X与Y相互独立，根据正态分布的性质知相互独立的服从正态分布的随机变量的线性组合仍服从正态分布，所以

因此

与相互独立，因此，因此

由于在正态分布的场合，独立性与不相关性是一致的，因此U与V不独立。

（2）令，则

因此

4．某手机企业从甲乙丙三个供应商处共采购了10万件触控屏（采购量分别为5万件、3万件和2万件）。己知甲乙丙三家供应商的次品率分别为3%、4%和5%。

（1）从产品中随机抽取一件为次品的概率。

（2）10万件产品中次品数的期望值。

（3）随机抽取一件为次品，该产品来自丙供应商的概率。[中央财经大学2014研]

解：（1）甲乙丙三家供应商的次品数分别为（万件），（万件），（万件），共0.37万件次品。用A1，A2，A3分别表示抽取的样品分别来自甲乙丙三家供应商。用X1，X2，X3分别表示来自甲乙丙三家供应商的采购量。用B1，B2，B3分别表示来自甲乙丙三家供应商的产品。用B表示“从产品中随机抽取一件为次品”这一事件，则P（B）＝＝0.037

（2）（万件）

（3）用B表示事件“随机收取的产品为次品”，C表示事件“随机抽取的次品来自丙供应商”，则

5．现有一种诊断某复杂疾病的试剂，经临床试验有如下记录：该疾病患者被检测出阳性的概率为98%，无该疾病的人被检测出阴性的概率为95%。

已知某社区该疾病发生率为0.5%，用试剂对这个社区进行疾病普查，问：

（1）对该社区每个人进行一次试剂测试，当某人反应为阳性时，此人患这种复杂疾病的概率是多少？

（2）若对这个人再独立进行一次测试，检验结果依然是阳性，问在发现两次反应结果都为阳性时，此人患这种复杂疾病的概率是多少？

（3）比较（1）和（2）的结果，试解释之。[中国科学技术大学2013研]

解：（1）设事件、分别代表“此人患病”、“此人不患病”，事件、分别代表“检测结果为阳性”、“检测结果为阴性”。

根据全概率公式得：

根据条件概率公式得：

即当某人反应为阳性时，此人患这种复杂疾病的概率是8.97%。

（2）若对这个检查结果为阳性的人再独立进行一次测试，此时。

根据全概率公式得：

根据条件概率公式得：

即在发现两次反应结果都为阳性时，此人患这种复杂疾病的概率是65.9%。

（3）（1）结果表明，在检查结果呈阳性的人中，真患某复杂疾病的人为8.97%，因为该复杂疾病的发病率很低，在10000个人中约有50个，而约有9950个人不患该复杂疾病。对10000个人用该种试剂进行检查，按其错检的概率可知，9950个人不患该种复杂疾病者中约有99505%＝497.5个呈阳性，另外50个真患此种复杂疾病患者的报告中约有5098%＝49个呈阳性，仅从546.5个呈阳性者中看，真患此种复杂疾病的49人约占8.97%。

在实际中由于技术和操作等种种原因，降低错检的概率是很困难的，所以，在实际中，常采用复查的方法减少错误率。此时被怀疑的对象群体中，该种复杂疾病的发病率已大大提高了。

通过（1）和（2）的结果，可知对首次检查得阳性的人群再进行复查，大大提高了该种诊断试剂的准确率了。

6．甲、乙两个异地汽车经销商均出售某种汽车。根据记录，甲经销商该型号汽车的百辆月销量从参数为1的泊松分布，乙经销商该型号汽车的百辆月销量服从参数为2的泊松分布。两个经销商在同一个仓库提货。

问：该仓库每月应该准备多少辆汽车才能以不小于90%的概率保证顾客的需求。[四川大学2013研]

泊松分布表如下：

解：设X、Y分别表示甲乙两个经销商的销售数量，a表示满足要求时所需的库存量。则依题意有

即

由泊松分布的可加性知：

查泊松分布表可知，服从参数为3的泊松分布当x＝6时，

故库存量为a＝x－1＝5时满足要求。

7．从装有红、白、黑球各一个的口袋中任意取球（取后放回），直到各种颜色的球至少取得一次为止。求：

（1）摸球次数恰好为6次的概率；

（2）摸球次数不少于6次的概率。[华中科大2002研]

解：设：“直到各种颜色的球至少取得一次为止所需摸球次数为k次”，k＝3，4，…，则事件发生必为第k次首次摸到红球、或白球、或黑球，其概率为，剩下（k－1）次摸到的必是其余两种颜色的球，且每种颜色至少出现一次，至多重复（k－2）次，每次出现的概率都是，因此

（1）

（2）摸球次数不少于6次的概率

8．某人乘公共汽车或地铁上班的概率分别为0.4和0.6，当他乘公共汽车时，有30%的日子迟到：当他乘地铁时，有10%的日子迟到。问此人上班迟到的概率是多少？若此人在某一天迟到，则他在该天恰好乘地铁的概率是多少？[天津财经大学2006研]

解：设A＝{乘公共汽车上班}，B＝{乘地铁上班}，C＝{上班迟到}。依题意有：

此人上班迟到的概率为：

若此人在某一天迟到，则他在该天恰好乘地铁的概率为：

9．盒中放有12个乒乓球，其中9个是新的。第一次比赛时从中任取3个来使用，比赛后仍放回盒中。第二次比赛时，再从盒中任取3个球，求：（1）第二次取出的球都是新球的概率；（2）已知第二次使用时，取到的是三只新球，而第一次使用时取到的是一只新球的概率。[江西财经大学2007研]

解：（1）令表示第一次任取3个球使用时，取出i个新球的事件（＝0、1、2、3）。令表示第二次任取的3个球都是新球的事件。则有：

根据全概率公式，计算第二次取出的球都是新球的概率为：

（2）根据条件概率公式，计算第二次取到三个新球时第一次取到一个新球的概率为：

10．某技术部门招工需经过四项考核，设能够通过第一、二、三、四项考核的概率分别为0.6，0.8，0.9和0.65，各项考核是独立的。每个应招者都要经过全部四项考核，只要有一项不通过即被淘汰。求：（1）这项招工的淘汰率；（2）通过一、三项考核但是仍被淘汰的概率；（3）假设考核按顺序进行，被考核人员一旦经某项考核不合格即被淘汰（不再参加后面的考核），求这种情况下的淘汰率。[江西财经大学2007研]

解：令为最终通过考核，表示分别通过第一、第二、第三、第四项考核。

（1）因为各项考核是相互独立的，所以这项招工的通过率为：

因此该项招工的淘汰率为：

（2）在通过一、三考核的情况下考核全部通过的概率为：

因此，通过一、三项考核但是仍被淘汰的概率为：

（3）由于考核项目之间是相互独立的，因此是否淘汰与考核顺序无关，淘汰率为：P（）＝1－P（B）＝0.7192。

11．设二维离散随机向量（X，Y）的分布列如表5-3所示。

表5-3

问：（1）X与Y是否相关？

（2）X与Y是否独立？[首经贸2002研]

解：（1）由（X，Y）的联合分布可以分别得到X和Y的概率分布分别为：

可求得X和Y的期望

XY的概率分布为：

可以得到。

因此X与Y的相关系数为：

即X与Y不相关。

（2）由于

可以看到：

故X与Y不独立。

12．设随机变量X的密度函数为：

（1）求参数k；（2）求的分布函数。[深圳大学2004研]

解：（1）由于

即

解得k＝1。

（2）当x＜0时，F(x)＝0；

当0≤x＜1时

当1≤x≤2时

当x＞2时，F（x）＝1。

故x的分布函数为：

13．设随机变量X₁，X₂相互独立且X₁的概率密度为

X2的概率密度为

求：（1）

（2）

（3）[首经贸2001研]

解：由题意可求得：

（1）

（2）

（3）因为随机变量X₁，X₂相对独立，所以有：

14．假定随机向量服从二维正态分布，且X和Y分别服从正态分布和，并已知它们的相关系数为

现做变换：

（1）试求Z的数学期望E(Z)和方差D(Z)；

（2）试求X与Z的相关系数；

（3）试判断X与Z的独立性（说明理由）。[东北财大2008研]

解：（1）

（2）

所以

（3）由于随机向量（X，Y）服从二维正态分布

则(X，Z)服从二维正态分布。又由（2）知，所以X与Z相互独立。

15．某元件寿命服从参数为的指数分布，求3个这样的元件使用1000小时后，都没有损坏的概率是多少？[首经贸2002研]

解：由题意可知，元件寿命服从指数分布：

设元件使用1000小时后，没有损坏的概率为：

由于3个元件的使用寿命是相互独立的，所以在它们使用1000小时后，都没有损坏的概率为：

16．设随机变量（X，Y）的概率密度函数为

计算：

（1）；

（2）；

（3）； [华中科大2001研]

解：（1）

（2）

（3）

17．设某种商品每周的需求量X是服从区间[10，30]上均匀分布的随机变量，而经销商店进货量为区间[10，30]中的某一整数，商店每销售一单位商品可获利500元，若供大于求，则削价处理，每处理一单位商品亏损100元；若供不应求，则可从外部调剂供应，此时1单位商品仅获利300元。为使商品所获利润期望值不少于9280元，试确定最少进货量。[首经贸2009、2004研，江西财经大学2008研]

解：该种商品每周的需求量X服从[10，30]上的均匀分布，设商店所获利润为z，商店进货量为y，则有：