3.2 课后习题详解
3-1 设某高阶系统可用下列一阶微分方程近似描述：
试证明系统的动态性能指标为
证明：由微分方程可知系统传递函数为
当
时，有
则
当
（延迟时间）时，须有
解得
令
（上升时间），其中
解得
则
当
（调节时间）
时，须有
解得
当取Δ＝0.02时，可得
3-2 设系统的微分方程式如下：
（1）
；
（2）
试求系统的单位脉冲响
和单位阶跃响应
。（已知全部初始条件为零）
解：（1）零初始条件下，对方程两边作拉氏变换可得：
则系统传递函数为：
当
时，系统的单位脉冲响应为
当
时，系统的单位阶跃响应为
（2）零初始条件下，对方程两边进行拉氏变换可得
则系统传递函数为
对比典型二阶系统传函形式可得
得
当时，系统的单位脉冲响应为
当时，系统的单位阶跃响应为
3-3 已知各系统的脉冲响应，试求系统闭环传递函数
：
（1）
；
（2）
；
（3）
。
解：已知输入是单位脉冲信号，即，则系统的脉冲响应的拉氏变换即系统的闭环传递函数。
（1）
（2）
（3）
3-4 已知二阶系统的单位阶跃响应为
试求系统的超调量
、峰值时间
和调节时间
。
解：二阶系统的单位阶跃响应为
由上式可知，该系统的放大系数为
。
标准的二阶系统的单位阶跃响应为
代入公式得
得
由于
，即该系统为欠阻尼二阶系统，因此，其动态性能指标为
超调量
峰值时间
调节时间
3-5 设单位反馈系统的开环传递函数为
试求系统在单位阶跃输入下的动态性能。
解：由题意可得，系统的开环传递函数为
系统闭环函数为
则该系统是比例-微分控制二阶系统，其标准形式为
由
可得
根据
可得
因此，该系统的动态性能指标为：
峰值时间
超调量
调节时间
3-6 已知控制系统的单位阶跃响应为
试确定系统的阻尼比
和自然频率
。
解：系统的单位脉冲响应为
由
、
得传递函数：
与
则系统的闭环传递函数为
故系统的自然频率和阻尼比为
3-7 设图3-2-1是简化的飞行控制系统结构图，试选择参数
和
，使系统的
，
。
图3-2-1 飞行控制系统
解：由题图可得系统的开环和闭环传递函数为
对比二阶系统的标准传递函数可知
解得
3-8 试分别求出图3-2-2各系统的自然频率和阻尼比，并列表比较其动态性能。
图3-2-2 控制系统
解：（1）图
所示系统
将
代入
可得系统闭环传递函数为
又二阶系统的标准传递函数为
比较可得：
，
即系统的自然频率
，阻尼比
，其二阶系统在阻尼时的单位阶跃响应为
因
取
而
，故
对于等幅振荡的无阻尼系统，
不存在，也没有意义。
（2）图
所示系统
系统闭环传递函数为
该系统是比例-微分控制二阶系统，其标准形式为
由
可得
将
代入得
则系统的动态性能指标为：
峰值时间
超调量
调节时间
（3）图
所示系统
系统闭环传递函数为
系统的自然频率为，阻尼比
，则系统的动态性能指标为：
超调量
峰值时间
调节时间
（
时，有
）
则图3-2-2中各系统的动态性能如表3-2-1所示。
表3-2-1 各系统的动态性能
3-9 设控制系统如图3-2-3所示。要求：
（1）取
，计算测速反馈校正系统的超调量、调节时间和速度误差；
（2）取
，计算比例-微分校正系统的超调量、调节时间和速度误差。
图3-2-3 控制系统
解：求系统的动态性能指标。
（1）取时，系统有
整理得开环传递函数为
由
得系统的闭环传递函数为
由开环传递函数可知，该系统是I型系统，其速度误差系数
，系统的速度误差为
由闭环传递函数可知：
的系统的自然频率：
的系统的阻尼比：
因此，系统的动态性能指标为：
峰值时间
超调量
调节时间
（2）取时，系统的开环传递函数为
则系统的闭环传递函数为
由开环传递函数可知，该系统是I型系统，其速度误差系数为：
，系统的速度误差为：
由闭环传递函数可知：
此时
因此，系统的动态性能指标为：
峰值时间
超调量
调节时间
3-10 图3-2-4所示控制系统有和两种不同的结构方案，其中
不可变。要求：
（1）在这两种方案中，应如何调整
，才能使系统获得较好的动态性能?
（2）比较说明两种结构方案的特点。
图3-2-4 控制系统
解：设
，
，则开环传递函数为
闭环传递函数为
方案测速反馈控制系统：
开环传递函数为
闭环传递函数为
方案比例-微分控制系统：
开环传递函数为
闭环传递函数为
则原系统、测速反馈控制系统与比例-微分控制系统均为I型系统，其静态速度误差系数分别为
（1）参数调整措施：
方案（a）引入速度反馈，可以增大系统的阻尼比，达到改善系统动态性能的目的。对
的选择，要使阻尼比在0.4～0.8之间，从而满足给定的各项动态性能指标。但是，测速反馈会降低系统的开环增益，加大系统稳态误差，考虑加大原系统的开环增益。然而，增加
又会导致阻尼比下降，超调量加大，应考虑增加
。
方案（b）比例-微分控制可以增大系统的阻尼比，使超调量下降，调节时间缩短。由于采用微分控制后，允许选取较高的开环增益，可以减小稳态误差。然而，增加又会导致阻尼比下降，超调量加大，应考虑增加。
（2）比例-微分控制对系统的开环增益和自然频率均无影响，测速反馈控制会降低开环增益。对于给定的开环增益和指令输入速度，后者对应较大的稳态误差值。比例-微分控制对噪声有明显的放大作用。测速反馈控制对系统输入端噪声有滤波作用。
3-11 已知系统的特征方程为
试用劳斯稳定判据和赫尔维茨稳定判据确定系统的稳定性。
解：（1）用劳斯稳定判据确定系统的稳定性
列劳斯表如下
表中第一列元素的符号有两次改变，则该系统在
右半平面有两个闭环极点，即该系统不稳定。
（2）用赫尔维茨稳定判据确定系统的稳定性
由特征方程可知n＝4，
，
，
，
，
若系统是稳定的，则需要满足3个条件：
①特征方程的各项系数为正；
②
③
。
系统
且
，但
，不满足条件③，因此系统不稳定。
3-12 已知系统的特征方程如下，试求系统在s右半平面的根数及虚根值。
（1）
（2）
（3）
解：（1）列劳斯表为
表中的第一列元素全部大于零，所以系统在右半平面无根。
由解辅助方程：
，可得：
故系统有一对纯虚根为：
。
（2）列劳斯表为
表中的第一列元素符号改变两次，则系统在右半平面有两个特征根。
由解辅助方程：
，可得：
，
故系统的一对虚根为：
。
（3）列劳斯表为
表中的第一列元素全部大于零，则系统在右半平面无根。
解辅助方程：
，可得：
故系统的一对虚根为：
。
3-13 已知单位负反馈系统的开环传递函数为
试确定系统稳定时的
值范围。
解：由题知系统特征方程为
列劳斯表如下
由劳斯稳定判据可得，使系统稳定的需满足如下条件
解上述方程组，可得
即当
时，闭环系统是稳定的。
3-14 已知系统结构如图3-2-5所示。试用劳斯稳定判据确定能使系统稳定的反馈参数
的取值范围。
图3-2-5 控制系统
解：由题图可得系统的闭环传递函数为
其特征方程为
列劳斯表如下
由劳斯判据可得，使系统稳定的满足以下条件
解不等式组，可得
。
故系统稳定的反馈参数的取值范围为。
3-15 已知单位反馈系统的开环传递函数：
（1）
（2）
（3）
试求输入分别为
和
时，系统的稳态误差。
解：（1）由题意可知，系统特征方程为
由赫尔维茨判据可知，
且各项系数为正，因此系统是稳定的。
由
可知，系统是0型系统,且K＝20。
当系统输入为
时，系统的稳态误差为：
当系统输入为
时，系统的稳态误差为：
（2）由题意可知，系统特征方程为
由赫尔维茨判据可知，
，各项系数
均为正，且
，因此系统是稳定的。
由
可知，系统是I型系统，且
。
当系统输入为时，系统的稳态误差为：
当系统输入为
时，系统的稳态误差为：
（3）由题意可知，系统特征方程为
由赫尔维茨判据可知，
，各项系数
均为正，且
因此系统是稳定的。
用终值定理求解系统的稳态误差，有
当系统输入为
时，有
当系统输入为
时，
，故
3-16 已知单位反馈系统的开环传递函数：
（1）
；
（2）
；
（3）
。
试求位置误差系数
、速度误差系数
、加速度误差系数
。
解：（1）根据静态误差系数的定义可得
（2）根据静态误差系数的定义可得
（3）根据静态误差系数的定义可得
3-17 设单位反馈系统的开环传递函数为
。试用动态误差系数法求出当输入信号分别为
和
时，系统的稳态误差。
解：由题意可知，系统的误差传递函数为
所以有
故动态误差系数为
本系统为I型系统，有
，其中Kv为静态速度误差系数。
当
时，有
；
当时，有
将上述各式代入
的表达式，可得稳态误差为
3-18 设控制系统如图3-2-6所示，其中
输入
以及扰动
和
均为单位阶跃函数。试求：
（1）在作用下系统的稳态误差；
（2）在作用下系统的稳态误差；
（3）在和同时作用下系统的稳态误差。
图3-2-6 控制系统
解：（1）误差传递函数为
则
由终值定理可得系统的稳态误差为
又
故
即在
作用下系统的稳态误差为
。
（2）在n1（t）作用下系统的输出为
故n1（t）引起的误差函数为
此时系统的稳态误差为
又
故
即在
作用下系统的稳态误差为0。
（3）
和
分别作用下系统的误差函数为
故和同时作用引起的误差为
此时系统的稳态误差为
即在和
同时作用下系统的稳态误差为0。
3-19 设闭环传递函数的一般形式为
误差定义取
。试证：
（1）系统在阶跃信号输入下，稳态误差为零的充分条件是
；
（2）系统在斜坡信号输入下，稳态误差为零的充分条件是
。
证明：系统的误差传递函数为
（1）当
时
由终值定理可得
因而充分条件得证。
（2）当
时
由终值定理可得
因而充分条件得证。
3-20 设随动系统的微分方程为
其中，
，
和为正常数。若要求r（t）＝1＋t时，c（t）对r（t）的稳态误差不大于正常数
，试问应满足什么条件?已知全部初始条件为零。
解：（1）对题中微分方程进行拉氏变换，有
则系统的结构图如图3-2-7所示。
图3-2-7 系统结构图
（2）由（1）中结构图可得闭环系统传递函数为
其闭环特征方程为
列劳斯表如下
在，和为正常数条件下，使闭环系统稳定的充要条件为
（3）定义系统的误差为E（s）＝R（s）－C（s），则
且
，则由终值定理可得
令
得
结合使系统稳定的
值取值范围可知，满足题意要求的值范围为
3-21 机器人应用反馈原理来控制每个关节的方向。由于负载的改变以及机械臂伸展位置的变化，负载对机器人会产生不同的影响。例如，机械爪抓持负载后，就可能使机器人产生偏差。已知机器人关节指向控制系统如图3-2-8所示，其中负载扰动力矩为1/s。要求：
（1）当
时，确定
对
的影响，指出减少此种影响的方法；
（2）当
，时，计算系统在输出端定义的稳态误差，指出减少此种稳态误差的方法。
图3-2-8 机器人关节指向控制系统
解：稳定性分析
闭环传递函数
其闭环特征方程
当参数，，
，
以及T均为正数时，闭环系统一定渐近稳定。
（1）当，
时，闭环系统的输出
误差信号为
则扰动作用下的稳态误差
增大和，可以减小阶跃负载扰动对输出关节角位移的影响。
（2）当，时，系统的实际关节角输出
位于系统输入端的误差信号
由终值定理可得
表明在无负载扰动时，预期阶跃关节角输入不会在系统输入端产生稳态误差。
位于系统输出端的稳态误差
在无负载扰动情况下，预期阶跃关节角输出会在系统输出端产生稳态误差。若取反馈系数K3＝1，则可使essr（∞）＝0。
3-22 在造纸厂的卷纸过程中，卷开轴和卷进轴之间的纸张张力采用图3-2-9所示的卷纸张力控制系统进行控制，以保持张力F基本恒定。随着纸卷厚度的变化，纸上的张力F会发生变化，因此必须调整电机的转速
。如果不对卷进电机的转速进行控制，则当纸张不断地从卷开轴向卷进轴运动时，线速度
就会下降，从而纸张承受的张力F会相应减小。
在张力控制系统中，采用三个滑轮和一个弹簧组成的张力测量器，用来测量纸上的张力。记弹簧力为
，其中
是弹簧偏离平衡位置的距离，则张力可以表示为
，其中F为张力增量的垂直分量。此外，假设线性偏差转换器、整流器和放大器合在一起后，可以表示为
；电机的传递系数为
，时间常数为
，卷进轴的线速度在数值上是电机角速度的2倍，即
。于是，电机运动方程为
式中，为张力扰动系数，
为张力扰动增量。要求在所给的条件下完成：
（1）绘出张力控制系统结构图，其中应包含张力扰动
和卷开轴速度扰动
；
（2）当输入为单位阶跃扰动
时，确定张力的稳态误差。
图3-2-9 卷纸张力控制系统
解：（1）系统结构图如图3-2-10所示。
图3-2-10 张力控制系统结构图
（2）该系统为二阶系统，只要系统中的各参数为正值，张力控制系统始终是稳定的。
令R（s）＝0，ΔF（s）＝0，则在作用下，系统的输出为
误差信号为
张力稳态误差为
减小K1或增大K2，可以减小卷开轴速度扰动产生的张力稳态误差。
3-23 现代船舶航向控制系统如图3-2-11所示。N（s）表示持续不断的风力扰动，已知
，增益
或
。要求在下面所给的条件下，确定风力对船舶航向的稳态影响：
（1）假定方向舵的输入R（s）＝0，系统没有任何其他扰动，或其他调整措施；
（2）证明操纵方向舵能使航向偏离重新归零。
图3-2-11 船舶航向控制系统
解：（1）令，
在作用下，闭环航向偏离输出为
稳态输出为
当时，有
；
当时，有
。
（2）在Ｒ（s）及N（s）同时作用下，系统航向偏离输出
若选
，可得航向偏离Ｃ（s）＝０。
3-24 设机器人常用的手爪如图3-2-12（a）所示，它由直流电机驱动，以改变两个手爪间的夹角θ。手爪控制系统模型如图3-2-12（b）所示，相应的控制系统结构如图3-2-12（c）所示。图中，
，
，
，J＝0.1，f＝1要求：
（1）当功率放大器增益
，输入
为单位阶跃信号时，确定系统的单位阶跃响应
；
（2）当
，n（t）＝1（t）时，确定负载对系统的影响；
（3）当n（t）＝0，
，t＞0时，确定系统的稳态误差
。
图3-2-12 机器人手抓控制系统
解：（1）由题图知系统闭环传递函数为
对比典型二阶系统传递函数可得
则系统单位阶跃响应为
系统的动态性能为
（2）令
，则
表明扰动输入幅值在输出端被削弱600倍。
（3）已知
，故有
3-25 1984年2月7日，美国宇航员利用手持喷气推进装置，完成了人类历史上的首次太空行走，如图3-2-13（a）所示。宇航员机动控制系统结构图如图3-2-13（b）所示，其中喷气控制器可用增益
表示，为速度反馈增益。若将宇航员以及他手臂上的装置一并考虑，系统总的转动惯量
。要求：
（1）当输入为单位斜坡
时，确定速度反馈增益的取值，使系统稳态误差
。
（2）采用（1）中求得的，确定
的取值，使系统超调量σ%≤10%。
图3-2-13 宇航员机动控制系统
解：（1）由题图可知，系统闭环传递函数
误差传递函数
稳态误差
因
，故
由于要求
，因此应有
，取
。
（2）对于
，取ζ＝0.6，，则
即有
代入J＝25，ζ＝0.6，，可得
显然
，必有
3-26 在喷气式战斗机的自动驾驶仪中，配置有横滚角控制系统，其结构图如图3-2-14所示。要求：
（1）确定闭环传递函数
；
（2）当分别等于0.7，3.0和6.0时，确定闭环系统的特征根；
（3）在（2）所给的条件下，应用主导极点概念，确定各二阶近似系统，估计原有系统的超调量和峰值时间；
（4）绘出原有系统的实际单位阶跃响应曲线，并与（3）中的近似结果进行比较。
图3-2-14 滚转角控制系统
解：（1）闭环传递函数
（2）其特征方程
将0.7，3.0和6.0的分别代入特征方程，可以得到相应的特征根
①当
，有
，求得
②当
，有
，求得
③当
，有
，求得
（3）①当时，有
令
有
得
图3-2-15 飞机横滚系统单位阶跃响应曲线（，MATLAB）
②当，有
得
图3-2-16 飞机横滚系统单位阶跃响应曲线（，MATLAB）
③当，有
得
图3-2-17 飞机横滚系统单位阶跃响应曲线（，MATLAB）
（4）应用MATLAB软件包，画出各阶跃响应曲线，如图3-2-15～3-2-17所示。
3-27 打磨机器人能够按照预先设定的路径（输入指令）对加工后的工件进行打磨抛光。在实践中，机器人自身的偏差、机械加工误差以及工具的磨损等，都会导致打磨加工误差。若利用力反馈修正机器人的运动路径，可以消除这些误差，提高抛光精度。但是，这又可能使接触稳定性问题变得难以解决。例如，在引入腕力传感器构成力反馈的同时，就带来了新的稳定性问题。
打磨机器人的结构图如图3-2-18所示。若可调增益及
均大于零，试确定能保证系统稳定性的和的取值范围。
图3-2-18 打磨机器人
解：令
，则闭环特征方程为
即
列出劳斯表如图
由劳斯稳定判据知，使系统稳定的和取值范围为：
。
3-28 一种新型电动轮椅装有一种非常实用的速度控制系统，使颈部以下有残障的人士也能自行驾驶这种电动轮椅。该系统在头盔上以90°间隔安装了四个速度传感器，用来指示前、后、左、右四个方向。头盔传感系统的综合输出与头部运动的幅度成正比。图3-2-19给出了该控制系统的结构图，其中时间常数
，
，
。要求：
（1）确定使系统稳定的的取值（
）；
（2）确定增益的取值，使系统单位阶跃响应的调节时间等于4s（Δ＝2%），并计算此时系统的特征根。
图3-2-19 轮椅控制系统
解：（1）由系统结构图可得，系统开环传递函数为
闭环传递函数为
闭环特征方程为
列出劳斯表
由劳斯判据知，使闭环系统稳定的K范围为：－1＜K＜11.25。
（2）由
，可得
，故希望特征方程为
而实际特征方程为
比较两式可得
则闭环特征方程为
系统的特征根为
3-29 设垂直起飞飞机如图3-2-20（a）所示，起飞时飞机的四个发动机将同时工作。垂直起飞时飞机的高度控制系统如图3-2-20（b）所示。要求：
（a）垂直起飞飞机
（b）控制系统结构图
图3-2-20 垂直起飞高度控制系统
（1）当
时，判断系统是否稳定；
（2）确定使系统稳定的的取值范围。
解：由系统结构图可得，系统开环传递函数为
闭环特征方程为
列劳斯表如下
由劳斯稳定判据，系统稳定的充要条件为
解得：
。
由上可知使系统稳定的值范围为：。
当取
时，闭环系统是不稳定的。
3-30 火星自主漫游车的导向控制系统如图3-2-21所示。该系统在漫游车的前后部都装有一个导向轮，其反馈通道传递函数为
。要求：
（1）确定使系统稳定的
值范围；
（2）当
为该系统的一个闭环特征根时，试计算的取值，并计算另外两个闭环特征根；
（3）应用上一步求出值，确定系统的单位阶跃响应。
图3-2-21 火星漫游车导向控制系统
解：（1）系统闭环传递函数为
闭环特征方程为
列劳斯表如图
由劳斯判据可知，使系统稳定的值范围
。
（2）设希望特征方程为
将上式与实际闭环特征方程相比，有
令
，求得另外两个闭环特征根为
，
。
（3）当取
时，闭环极点全部为负实极点，没有闭环有限零点，因此系统的单位阶跃响应必然为非周期形态。
因为
所以
对上式进行因式分解，可得
对上式取拉氏反变换，有单位阶跃响应
3-31 一种采用电磁力驱动的磁悬浮列车的构造如图3-2-22（a）所示，其运行速度可达480km/h，载客量为400人。但是，磁悬浮列车的正常运行需要在车体与轨道之间保持0.635cm的气隙，这是一个困难的问题。间隙控制系统结构图如图3-2-22（b）所示。若控制器取为
其中为控制器增益。要求：
（1）确定使系统稳定的值范围；
（2）讨论可否确定的合适取值，使系统对单位阶跃输入的稳态跟踪误差为零；
（3）取控制器增益
，确定系统的单位阶跃响应。
图3-2-22 磁悬浮列车控制系统
解：（1）系统开环传递函数为
系统是0型系统，静态位置系数
闭环系统特征方程
使系统稳定的值范围为：
。
（2）计算稳态误差：
当
时，
。
（3）确定系统单位阶跃响应。
令闭环特征多项式
可得
在不同的
值下，有表3-2-2所示结果。系统始终为过阻尼二阶系统。
表3-2-2
当取
时，闭环传递函数为
系统在单位阶跃作用下的输出
故系统的单位阶跃响应为
