第14章　多元微分学

1定义

证明：f（x，y）在（0，0）处连续但不可微．[中国科技大学研]

证明：对任意的ε＞0，存在δ，当时，有

故f（x，y）在（0，0）处连续，根据偏导公式可得

从而

不唯一，所以在（0，0）点函数不可微．

2二元函数

求（1），（2），是否在点（0，0）处连续，f（x，y）在点（0，0）处是否可微，并说明理由．[浙江大学研]

解：（1）根据求偏导数的公式有

当时，有

（2）由于，不存在，所以，在点（0，0）处不连续．因为

所以f（x，y）在点（0，0）处可微．

3设函数

（1）研究函数f（x，y）在点（0，0）处是否连续，其偏导数是否存在，若存在是多少？

（2）函数f（x，y）在点（0，0）处可微吗？为什么？[上海理工大学研]

解：（1）由于当（x，y）≠（0，0）时，有

又，故由夹逼法知，所以f（x，y）在点（0，0）处连续．由于

所以两个偏导数都存在，且，．

（2）由于

但当y=kx时，

所以f（x，y）在点（0，0）处不可微．

4设

试确定f（x，y）在平面中所有可微点与不可微点，并说明理由．[北京理工大学研]

解：当x≠0时，函数显然可微．当x=0时，根据函数导数定义可得

从而

所以f（x，y）当x=0时也可微．故f（x，y）在平面中的可微点为整个平面．

5设f（x，y）在上有定义，若f（x，y）在点x=0处连续，且在G上有界，证明：f（x，y）在点（0，0）处连续．[华南理工大学研]

证明：因为f（x，0）在x=0处连续，则对任意的ε＞0，存在使得当时，有

又因为在G上有界，存在M＞0，使得对上述的ε，取，当时，有

所以对上述的ε，取，则当时，有

故f（x，y）在点（0，0）处连续．

6设在处存在，在点处连续，证明：f（x，y）在点处可微．[西安电子科技大学研、清华大学2006研]

证明：为了证明f（x，y）在点处可微，就要证明z=f（x，y）的全增量可以表示成如下形式

为此先把Δz拆成两部分

以便能与偏导数所满足的条件相联系，利用对y的导数存在，并由一元函数微分中值定理可得

其中，又利用在处可导，所以

这就得到．再利用在处连续的条件知

，从而即为，得证．

7讨论函数

在点处，（1）连续性；（2）可微性；（3）沿（cosα，sinα）的方向导数的存在性．[北京工业大学研、中山大学2007研]

解：（1）由于，所以，故在点处连续．

（2）

则

从而

故不可微．

（3）由于

沿（cosα，sinα）的方向导数存在．

8设，其中f（u，v）有二阶连续偏导数．

（1）求，；

（2）若，，求．[上海理工大学研]

解：（1）由链式求导法则知

（2）由（1）得到的结果知

9设x=rcosθ,y=rsinθ，证明：

（1）

（2）

[中国地质大学2006研]

证明：因为

所以

于是

10设f（x，y）有处处连续的二阶导数，，证明：

[华中科技大学研]

证明：令F（s）=f（sx，sy），则由f（0，0）=0知F（0）=0，且

同理，由知

所以

11确定α的值，使得函数

在点（0，0）可微．[同济大学研]

解：f（x，y）在点（0，0）可微，则存在．

由

存在．则必有

此时同理有

因此当时，f（x，y）在点（0，0）处可微．

12在曲面上求点，且使该点处曲面的切平面与三坐标面围成的四面体的体积最小．[北京航空航天大学研]

解：过点的切平面方程为

即，此平面与三坐标轴截距为

因此四面体的体积原问题化为求V在限制条件下的极小值点．

作拉格朗日函数

解得，且最小体积为

13利用导数证明周长一定的三角形中以等边三角形的面积最大．[清华大学研]

证明：设三角形三边分别为x，y，z，其周长为定数2p，则面积

所求为S在限制条件下的极大值，为此，作拉格朗日函数

解得，此时。

14设，其中z=f（x，y）是由方程所确定的隐函数，求和．[北京化工大学研]

解：对方程，求一、二阶偏导有

解得，，从而

15设，求f（x，y）在上的最大值与最小值

．[大连理工大学2006研]

解：令，则

解得，所以，两边消去y可得

再利用和就可以得到

由x、y的表达式知，λ越大，越小，因为a、b、c＞0，所以f（x，y）越小；同样，λ越小，越大，因此f（x，y）越大．

因为

所以当时，f（x，y）最小，且最小值为

当时，f（x，y）最大，且最大值为