第13章　多元函数的极限和连续

一、判断题

1若存在，则与均存在．[上海交通大学研]

【答案】错

【解析】举反例：例如，显然有，，但是不存在．

2设在的某个邻域内有定义且

，

则在处连续．（　　）[华东师范大学2008研]

【答案】错

【解析】举反例：设，

显然有

，，

但是

，

即是否为0还要取决于的值，所以在点处不连续.

二、解答题

1[北京航空航天大学研]

解：因为所以

同理

2求极限．[南京大学研]

解：

由于

，

又根据L’Hospital法则知，从而，故有．

3设f（x，y）是在区域D：上的有界k次齐次函数，即满足对任意的t＞0，有

，证明： 存在，并求其值．[天津工业大学研]

证明：做极坐标变换，由于f（x，y）是在区域D：上的有界k次齐次函数，故

4设，试讨论函数在点（0，0）处的连续性．[江苏大学研]

解：当0＜p＜1时，由于当时有

又，所以

故f（x，y）在点（0，0）处连续．

当p≥1时，由于

故f（x，y）在点（0，0）处不连续．

5设Q为有理数集，且

证明：（1）对任意的，极限都不存在；

（2）函数仅在点（a，b）处连续．[陕西师范大学研]

证明：（1）由于有理数在实数上是稠密的，所以存在有理数列与使得．同样无理数在实数上也是稠密的，所以存在无理数列使得．于是

两个极限不相等，故极限不存在．

（2）由于

故f（x，y）在点（a，b）处连续．对任意的，取有理数列与使得

，取无理数列使得，则有

由于，所以f（x，y）在点处不连续，故f（x，y）仅在点（a，b）处连续．

6若g（x，y）在域D内对变量y连续，且对任意的均有

其中M、α均为常数且M＞0、0＜α≤1，问g（x，y）在D内是否连续，并说明理由．[湖南师范大学研]

解：g（x，y）在D内连续．对任意的，由于对于y连续，所以对任意的ε＞0，存在，使得

取，则有

于是当时，有下式成立

故g（x，y）在D内连续．

7设f（x，y）在有界闭域D上连续，D为[a，A；b，B]，函数列在[a，A]上一致收敛，且对任意的x∈[a，A]有，n=1，2，…，证明：函数列在[a，A]上一致收敛．[西安交通大学研]

证明：因为f（x，y）在有界闭区域D上连续，所以f（x，y）在D上一致连续，即对任意的ε＞0，存在δ＞0，使得当， 时，有

由于在[a，A]上一致收敛，所以对上述的δ，存在N＞0，使得当m、n＞N，x∈[a，A]时，有

所以，从而

故由Cauchy收敛准则知函数列在[a，A]上一致收敛．

8设二元函数f（x，y）在正方形区域[0，1]×[0，1]上连续．记J=[0，1]．

（1）试比较与的大小并证明之；

（2）给出并证明使等式成立的（你认为最好的）充分条件．[厦门大学研]

证明：（1）对于任意的x都成立，则

由y的任意性可知

（2）若使下面证明上面条件为充分条件，显然

在[0，1]上连续，，使

故