第4章 导数与微分
4.1 复习笔记
一、导数
1．导数的概念
（1）导数的定义
设函数
在
内有定义.若极限
存在，则称
或者
．
（2）基本初等函数的导数
①
②
；
③
；
；
④
；
；
；
；
⑤
；
；
⑥
；
2．单侧导数
（1）单侧导数的定义
设函数
在
内有定义，若极限
存在，则称
处右可导，并且称此极限值为
在
处的右导数，记为
同理可定义函数
在
处的左可导和左导数，即
（2）导数与单侧导数的关系
定理 
在
处
存在的充分必要条件是:
与
都存在且相等.
3．可导与连续
（1）定理 若函数
在
处可导，则它在
处连续.
（2）定理 若函数
在处连续，则它在处不一定可导.
（3）
在
处左可导，则
在
处左连续；右可导则右连续.
在
左、右可导（不要求左导数与右导数相等）,则必有
在
连续.
二、求导法则
1．函数四则运算的导数
（1）定理 设函数
处成立：
①
；
②
；
③
（2）推论 设
都在点x处可导，则下列各式在点x处成立：
①
其中
是常数；
②
2．反函数的求导定理
设函数
在
内严格单调，并且令
如果
在
内可导且导数
则它的反函数
在
内可导，而且有
3．复合函数的求导法则
定理（链式法则） 设函数
在
内有定义，函数
在
内有定义，且
若
与
都存在，则复合函数
在点
可导，且
4．隐函数的求导法则
求隐函数导数的方法，只要将y看成x的函数，在方程的两边对x求导数，就可得到
满足的恒等式，然后再从中将
解出即可.
5．参数式函数的求导法则
参数方程
，
其中函数
和
都在
内可导，且
，由该参数方程所确定的函数
的导函数为
6．极坐标式函数的求导法则
由极坐标方程
，即可得曲线的参数方程为
作为
的函数，其导数
存在，且在所考虑的极角
附近有
则可得：
三、微分
1．微分的概念
（1）定义
设函数
在
内有定义，如果存在常数A，使得
则称
处可微，并称
为
在
处的微分，记做
或者
（2）性质
①它是自变量的增量
的线性函数.
②它与函数的增量
之差是较
高阶的无穷小量
2．微分与导数的关系
定理 函数
在点
处可微的充分必要条件是
在
处可导.
3．可微函数
若函数
内每一点x处可微（即
），则称函数
是
上的（一阶）可微函数.
4．一阶微分的形式不变性
（1）一阶微分的形式不变性的理解
设函数
根据复合函数的求导法则，可得复合函数
的微分公式为
由于
代入上式就得到了它的等价表示形式
，这里
是x的函数，同时也可以发现，它与u为自变量的函数f（u）的微分形式
完全一样，即对f（u）进行微分时，不管u是因变量还是自变量，所得结果具有相同的形式，这就称为一阶微分的形式不变性.
（2）基本初等函数的微分公式
①
②
③
④
⑤
；
；
⑥
；
（3）微分运算的四则运算
设u，v为x的可微函数，则有微分运算的法则：
①
；
②
；
③
.
四、高阶导数与高阶微分
1．高阶导数
（1）定义
若一个函数
的一阶导数
仍是可导函数，则可求
记其为
或
并称为
的二阶导数.类似地，可定义三阶导数为
.一般地，当
时，
的
阶导数定义为
的
阶导数的导数，并记为
或
（2）常见函数的高阶导数
①
，
②
，
③
，
④
，
⑤
，
⑥
，
2．莱布尼茨公式
定理（莱布尼茨公式） 若函数u和v有任意阶导数，则
其中
3．高阶微分
若函数
在区间
内可微，定义n阶微分为
最常见的是二阶微分：
需要注意的是，高阶微分是不具有形式不变性的。