第三节 立体与立体相贯
两立体相交称为两立体相贯,相贯的两立体为一个整体,称为相贯体。两立体表面的交线称为相贯线,相贯线是两立体表面的共有线,也是两立体表面的分界线,相贯线上的点是两立体表面的共有点,如图3-14所示。
图3-14 常见的相贯体
(a)四棱柱与圆柱相交;(b)圆柱与圆柱相交;(c)圆柱与圆球相交
一、相贯线的画法
相贯线是两个基本体表面的交线,是由两个基本体表面一系列共有点组成的。相贯线的形状取决于两基本体的形状、大小及它们之间的相对位置。求作相贯线的实质就是求两个基本体的表面共有线。
【例3-6】 求图3-15所示四棱柱与圆柱相交时的相贯线。
分析:如图3-15(a)所示,四棱柱的前、后表面与圆柱轴线平行,其交线为两段与圆柱体轴线平行的线段ⅠⅡ、ⅢⅣ。四棱柱的左、右表面与圆柱轴线垂直,其交线为两段圆弧ⅠⅤⅣ、ⅡⅥⅢ。把各段交线依次连接,即为四棱柱与圆柱体相贯线。相贯线在俯视图中与四棱柱的侧棱面的投影重合,积聚在矩形线框上。相贯线在左视图中与圆柱面的侧面投影重合,积聚在圆弧上。由于相贯线在俯视图和主视图中均为已知,因此,只需求作其主视图上的投影。
图3-15 四棱柱与圆柱相交
(a)立体图;(b)投影图
作图方法与步骤如下:
(1)求四棱柱前后侧棱面与圆柱面交线。如图3-15(b)所示,相贯线的前、后交线ⅠⅡ、ⅢⅣ,可由俯视图中的点1、2、3、4和左视图中的点1″、(2″)、(3″)、4″,求出主视图上的1'、2'、(3')、(4'),两两连线,即得四棱柱的前、后表面与圆柱面的交线。由于该形体为对称形体,所以1'2'与(3')(4')重合。
(2)求四棱柱左右侧棱面与圆柱面交线。四棱柱的左、右表面与圆柱面的交线为两段圆弧ⅠⅤⅥ、ⅡⅣⅢ,主视图为两段竖向线段,由俯视图中的点5、6和左视图中的点5″、(6″)求得对应主视图中的5'、6',将点5'与1'、(4')连线,6'与2'(3')连线,即为所求。
【例3-7】 求如图3-16所示圆柱与圆柱相交时相贯线的投影。
分析:如图3-16(a)所示,两直径不等圆柱相交,且两个圆柱轴线垂直,相贯线为一条前后、左右都对称的封闭空间曲线。相贯线在俯视图中与小圆柱面的积聚投影重合,积聚在圆形线框上。左视图中,相贯线与大圆柱面的侧面积聚投影重合,积聚在一段圆弧上。由于相贯线在俯视图和左视图中均为已知,因此,只需求作其主视图上的投影。
图3-16 圆柱与圆柱相交
(a)立体图;(b)投影图
作图方法与步骤如下:
(1)求特殊点。在俯视图中标注相贯线的最左点、最前点、最右点、最后点的投影1、2、3、4,分别位于小圆柱面的最左、最前、最右和最后轮廓素线上。左视图中,小圆柱面的四条转向轮廓素线与大圆柱面积聚投影的交点为1″、2″、(3″)、4″。由此可知,点Ⅰ、Ⅲ和点Ⅱ、Ⅳ又分别是相贯线上的最高点和最低点。根据点的投影规律,求出主视图上的1'、2'、3'、(4'),如图3-16(b)所示。
(2)求一般点。先在相贯线的俯视图上确定点5,利用y坐标值相等的投影关系,求出左视图中5″,再由5、5″求得5'。由于相贯线左右对称、前后对称,故可以同时求得对称点6'、(7')、(8')。
(3)连线并判别可见性。在主视图上将相贯线上各点按照俯视图中各点的排列顺序依次连接,即前半条1'-5'-2'-6'-3'-(7')-(4')-(8')-1'。前半条可见,画粗实线;后半条不可见,应画成虚线。由于相贯线前后对称,主视图上投影重合,连线为粗实线,如图3-16(b)所示。
两圆柱轴线垂直相交是工程形体上常见的相贯体,求作相贯线时应注意以下几个方面:
(1)当两圆柱直径不相等时,其相贯线的投影总是向小圆柱轴线方向弯曲,在不致引起误解的情况下,可采用简化画法作图,即用圆弧代替相贯线。其相贯线的近似画法如图3-17所示,以两轮廓线交点为圆心、以R为半径画弧交小圆柱轴线于O(R为较大圆柱体的半径),再以O为圆心、R为半径画弧即为所求。
图3-17 圆柱与圆柱正交相贯线的近似画法
(a)确定圆弧的圆心;(b)画出近似相贯线
(2)对于两圆柱轴线垂直相交构成的相贯体,相贯线的形状取决于它们直径大小相对比。图3-18表示相交两圆柱的直径发生变化时,相贯线的形状和位置的分析。当两圆柱体直径不同时,相贯线是相对大圆柱面轴线对称的两条空间曲线,如图3-18(a)、(c)所示;当两圆柱体直径相等时,其相贯线是两条平面曲线——垂直于两相交轴线所确定平面的椭圆,如图3-18(b)所示。
图3-18 垂直相交两圆柱直径相对变化时的相贯线分析
(a)上下两条空间曲线;(b)两个互相垂直的椭圆;(c)左右两条空间曲线
(3)圆柱与圆柱相贯主要有三种形式。图3-19(a)为两圆柱外表面相交;图3-19(b)为圆柱外表面与圆柱内表面相交;图3-19(c)为两圆柱内表面相交。它们虽然内、外表面不同,但由于两圆柱面的大小和相对位置不变,因此它们交线的形状是完全相同的。
图3-19 内外圆柱表面相交的相贯线分析
(a) 两外表面相交;(b) 外表面与内表面相交;(c) 两内表面相交
【例3-8】 求如图3-20所示圆柱与圆球相交时相贯线的投影。
分析:圆柱与圆球相交,一般情况下,相贯线是一条空间曲线。如果圆柱的轴线通过球心,则其相贯线为垂直圆柱轴线的平面内的圆。图3-20(a)所示圆柱体轴线为铅垂线,则相贯线为水平圆。相贯线在主视图和左视图中均积聚为直线,俯视图中与圆柱面的积聚投影重合。
作图方法与步骤如下:
(1)将圆柱体最左、最右轮廓素线与圆球正面投影轮廓圆的交点连线,即为相贯线的正面投影,如图3-20(b)所示。
(2)同理,求出相贯线的侧面投影,如图3-20(b)所示。
图3-20 圆柱与圆球相交
(a)立体图;(b)投影图
二、相贯线的特殊情况
一般情况下,两回转体的相贯线是空间曲线;特殊情况下,相贯线可能是平面曲线或直线段。相贯线的形状可根据两相交回转体的形状、大小和相对位置进行判断。相贯线的特殊情况见表3-4。
表3-4 相贯线的特殊情况