1.4　课后习题全解

1.回答以下问题：

（1）两事件A，B对立与两事件互不相容有何异同？举例说明。

（2）A，B，C三个事件互不相容与ABC=⌀是否是同一回事？为什么？

解：（1）相同之处： 两事件A，B不会同时发生，即AB=⌀；

不同之处：两事件A，B对立，表明随机事件非A即B，非B即A，即A+B=Ω；两事件A，B不相容，表明AB=⌀，且A+B⊂Ω。

举例1：A表示考试及格这一事件；B表示考试不及格这一事件，显然此时A与B为对立事件。

举例2：掷骰子出现的点数，A表示出现偶数点数；B表示出现1点，这里A与B就属于不相容事件。

（2）不是。A，B，C三个事件互不相容说明AB=⌀，AC=⌀，BC=⌀，而ABC=⌀只能说明A，B，C三个事件不能同时发生。

2.事件A和事件是否互不相容？是否对立？为什么？

解：因⊄A，∩A=⌀，故事件A和事件互不相容。因事件A的对立事件为，除非A=B=C，即=A时，事件A和事件才是对立事件，否则事件A和事件不对立。

3.从生命科学学院的学生中任意选出一人，用A表示事件“被选出的人是男生”，B表示事件“该生是三年级学生”，C表示事件“该生是运动员”，回答以下问题：

（1）叙述A 的意义。

（2）何时关系式=B成立？

解：（1）A 表示“被选出的人为男性，且该生非三年级运动员”。

（2）当选出的人是三年级女学生，且生命科学学院只有三年级学生，或者只有三年级有女生时，=B。

4.证明以下等式成立：

（1）B+A+ =

（2）= 

证明：（1）  B+A + =（B+）+A =+A

根据事件的分配律（A+B）（A+C）=A+BC

+A =（+A）（+）=+=

（2）= = =（+B）= +B = 

5.给出随机试验“从包含两株红花豌豆a1，a2和三株白花豌豆b1，b2，b3这五株豌豆中依次取出两株”的样本空间Ω，并写出以下事件的集合表示：

A0：“没有取到红花豌豆”

Ai1：“恰好取到i株红花豌豆”（i=1，2）

解：样本空间Ω为：{﹙a1，a2﹚；﹙a2，a1﹚；﹙a1，b1﹚；﹙a1，b2﹚；﹙a1，b3﹚；﹙b1，a1﹚；﹙b2，a1﹚；﹙b3，a1﹚；﹙a2，b1﹚；﹙a2，b2﹚；﹙a2，b3﹚；﹙b1，a2﹚；﹙b2，a2﹚；﹙b3，a2﹚﹙b1，b2﹚；﹙b1，b3﹚；﹙b2，b3﹚；﹙b2，b1）；﹙b3，b1﹚；﹙b3，b2﹚}

A0={﹙b1，b2﹚；﹙b1，b3﹚；﹙b2，b3﹚；﹙b2，b1）；﹙b3，b1﹚；﹙b3，b2﹚}

A1={﹙a1，b1﹚；﹙a1，b2﹚；﹙a1，b3﹚；﹙b1，a1﹚；﹙b2，a1﹚；﹙b3，a1﹚；﹙a2，b1﹚；﹙a2，b2﹚；﹙a2，b3﹚；﹙b1，a2﹚；﹙b2，a2﹚；﹙b3，a2﹚}

A2={﹙a1，a2﹚；﹙a2，a1﹚}

6.设A，B，C是样本空间Ω中的事件，规定如下：

Ω={x|x=1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}

A={x|x=1，3，5，7，9}

B={x|x=1，2，3，4，5，6}

C={x|x=5，6，7，8，9，10}

求下列事件：

（1）A（BC）

（2）

（3）A+

（4）A+B+C

（5） 

（6） 

解：（1） A（BC）=

（2） = = 

（3） A+=Ω={x|x=1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}

（4） A+B+C=Ω={x|x=1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}

（5）  =⌀

（6） =⌀

7.设A，B，C是样本空间Ω中的事件，规定如下：

Ω={x|0≤x≤20}

A={x|0≤x≤5}，B={x|3≤x≤10}

C={x|7≤x≤15}

求下列事件：

（1）A+B

（2）

（3） A

（4） A+B

（5）

（6）

（7）B-C

（8）（A+B）（A+）

解：（1） A+B={x|0≤x≤10}

（2）={x|5<x≤20}

（3）A ={x|0≤x<3}

（4）A+B =x|0≤x<7}

（5）={x|5<x<7，15<x≤20}

（6）={x|0≤x<3，10<x≤20}

（7）B-C={x|3≤x<7}

（8）（A+B）（A+）={x|0≤x<7}

8.设A，B，C为三个随机事件，试证

P（A+B+C）=P（A）+P（B）+P（C）-P（AB）-P（AC）-P（BC）+P（ABC）

证明：P（A+B+C）=P（A+B）+P（C）-P

=P（A）+P（B）-P（AB）+P（C）-P（AC+BC）

=P（A）+P（B）+P（C）-P（AB）-P（AC）-P（BC）+P

=P（A）+P（B）+P（C）-P（AB）-P（AC）-P（BC）+P

=P（A）+P（B）+P（C）-P（AB）-P（AC）-P（BC）+P（ABC）

9.证明：P=P（A）+P（B）-2P（AB）。

证明：∵AB⊆（A+B）

　　　∴P=P（A+B）-P（AB）

根据加法公式：P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB）

故P=P（A+B）-P（AB）=P（A）+P（B）-P（AB）-P（AB）

即P=P（A）+P（B）-2P（AB）

10.已知试求P（A+B+C）。

解：根据第8题的结论P（A+B+C）=P（A）+P（B）+P（C）-P（AB）-P（AC）-P（BC）+P（ABC）⇒P（A+B+C）=

11.已知P（B）=q，P（A+B）=r，试求P（A ）及P（ ）。

解：（1）P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB）=r

        ∵P（B）=q

        ∴P（A）-P（AB）=r-q

        P（A ）=P（A-B）=P（A）-P（AB）=r-q

（2）P（ ）=P =1-r

12.从95粒发芽、5粒不发芽的100粒种子中任取50粒，试求恰有两粒种子不发芽的概率是多少？至少有两粒种子不发芽的概率是多少？

解：（1）已知P（发芽）=；P（不发芽）=

设A-恰有两粒种子不发芽；B-至少有两粒种子不发芽

（2）P（B）=1-P（0粒不发芽）-P（1粒不发芽）

或者

13.房间里有500人，问至少有一人的生日是10月1日的概率是多少？

解：A-至少有1人10月1日过生日；B-无人10月1日过生日；

14.两事件互不相容、两事件互为对立事件及两事件相互独立，三个概念有何不同？试证明：若两事件A，B相互独立且P（A）>0，P（B）>0，则A，B肯定不会是互不相容事件。

解：（1）两事件A和B互不相容：AB=⌀，集合A与集合B没有公共元素，即事件A与事件B互不相容。

两事件A和B互为对立事件：P（A）+P（B）=1，其中必有一个事件发生，两个事件互斥，非此即彼，叫做对立事件。

两事件A和B相互独立：事件A对事件B的发生没有影响。

（2）∵两事件A和B相互独立

　　　∴P（AB）=P（A）P（B）；P（B|A）=P（B）；P（A|B）=P（A）

　　　又∵P（A）>0，P（B）>0

　　　∴P（AB）>0

　　　故P（AB）≠⌀，即A，B不是互不相容事件。

15.如果A，B独立，试证，独立。

证明：欲证，独立，须证P（，）=P（）P（）

∵A，B独立

∴P（AB）=P（A）P（B）

又∵P（B）=P（B）-P（AB）=P（B）-P（B）P（A）=P（B）=P（B）P（）

∴，B独立。

P（）=P（）-P（B）=P（）-P（）P（B）=P（）=P（）P（）

故，独立。

16.证明：若P（A|B）=P（A| ），则A，B独立。

证明：

　　　因P（A|B）=P（A|）

　　　P（AB）=P（B）

　　　⇒P（AB）-P（AB）P（B）=P（A）P（B）-P（AB）P（B）

　　　⇒P（AB）=P（A）P（B）

故A，B独立。

17.已知A，B独立，P（A+B）=0.6，P（A）=0.4，求P（B）。

解：P（AB）=P（A）P（B）

　　P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB）=0.6

　　⇒P（B）-P（AB）=0.2　⇒P（B）-0.4P（B）=0.2　⇒P（B）=1/3

18.已知A1和A2同时发生则A发生，试证明：

P（A）≥P（A1）+P（A2）-1

证明：A1和A2同时发生则A发生⇒A=A1+A2

P（A1+A2）=P（A1）+P（A2）-P（A1A2）=P（A1）+P（A2）-P（A）≤1

故P（A）≥P（A1）+P（A2）-1

19.已知A1 A2 A3⊆A，试证：

P（A）≥P（A1）+P（A2）+P（A3）-2

证明：∵A1 A2 A3⊆A

∴P（A）≥P（A1+A2+A3）

利用加法公式（第8题的结论）得：

 P（A1+A2+A3）=P（A1）+P（A2）+P（A3）-P（A1A2）-P（A1A3）-P（A2A3）+P（A1A2A3）=

P（A1）+P（A2）+P（A3）-P-P

又∵P≤1，P≤1，

∴P（A）≥P（A1+A2+A3）=

P（A1）+P（A2）+P（A3）-P-P≥

P（A1）+P（A2）+P（A3）-2

20.设人群中有37.5%的人的血型为A型，20.9%的血型为B型，33.7%的血型为O型，7.9%的血型为AB型，允许输血的血型配对如下表（“√”表示允许输血，“×”表示不允许输血）。现在人群中任选一人为输血者，再任选一人为需要输血者，问输血能成功的概率是多少？

解：据题意P（A）=0.375；P（B）=0.209；P（O）=0.337；P（AB）=0.079。

X表示事件配对成功

P（X|A）=0.5；P（X|B）=0.5；P（X|AB）=0.25；P（X|O）=1.0；

故P（X）=P（X|A）×P（A）+P（X|B）×P（B）+P（X|AB）×P（AB）+P（X|O）×P（O）

　　　=0.5×0.375+0.5×0.209+0.25×0.079+1×0.337=0.64875

21.一项化验有95%的把握把患某种病的人鉴别出来，但对健康人也有1%的可能出现假阳性（检验的结果是阳性但实际是阴性）。若此病发病率为0.5%，则当某人化验为阳性时，他确实患病的概率有多大？

解：设A1表示此人患这种病；A2表示此人未患有这种病；B表示呈阳性反应。

据题意P（A1）=0.005；P（A2）=0.995；

　　　P（B|A1）=0.95；P（B|A2）=0.01；

根据全概率公式

根据逆概率公式

即当某人化验为阳性时，他确实患病的概率为32.3%。

22.用甲胎蛋白法普查癌症，假设从历史资料知道，确患癌症者，甲胎蛋白检验结果是阳性的概率为0.95，未患癌症者，甲胎蛋白检验结果是阴性的概率为0.90，现用此法对某地区的居民进行癌症普查，由积累资料知道，居民癌症的发病率为0.0004.若有一人检验结果为阳性，求此人患癌症的概率。

解：设A1表示患癌症；A2表示未患癌症；B表示检测阳性；

据题意P（A1）=0.0004；P（A2）=0.9996；

　　　P（B|A1）=0.95；P（B|A2）=0.1；

根据全概率公式

P（B）=P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）

　　　　　　　　　=0.0004×0.95+0.9996×0.1

　　　　　　　　　=0.10034

根据逆概率公式

即若有一人检验结果为阳性，求此人患癌症的概率为0.0038。

23.有一道选择填空题，要求学生从8个答案中挑选1个正确的答案填入。某考生可能知道哪个是正确的答案往里填的可能性是0.2，瞎猜1个答案往里填的可能性是0.8，瞎猜而填对的可能性是0.125。已知该考生填入的答案是对的，问该考生是瞎猜而填对的可能性是多大？

解：设A表示“知道正确答案往里填”；B表示“瞎猜1个答案往里填”；C表示填对。

据题意P（A）=0.2；P（B）=0.8；

　　　P（C|A）=1；P（C|B）=0.125；

根据全概率公式

P（C）=P（A）P（C|A）+P（B）P（C|B）

=0.2×1+0.8×0.125=0.3

根据逆概率公式

24.根据孟德尔遗传学的基本原理，动植物的某种机体特征由某一对基因控制。例如豌豆的颜色，我们用Y表示黄色（基因），y表示绿色（基因）。 若植物有一对（yy）基因，则豌豆呈绿色，若有一对（YY）或（Yy）基因时则豌豆呈黄色（对于最后一对基因的这个性质，我们称黄色对于绿色为显性）。 双亲交配得到的后代将从亲代的每一方的一对基因中获得一个基因，至于获得该对基因中的哪一个是等可能的。倘若（YY）型豌豆与（yy）型豌豆杂交，所有的子代都将是（Yy）型并且都是黄色，因为黄色是显性。如果（Yy）型豌豆与（yy）型豌豆杂交，那么子代为黄色的概率是0.5，为绿色的概率也是0.5。对一次大规模这种杂交的结果，我们可以期望大约一半是黄的而其余的是绿色。如果（Yy）型与（Yy）型交配，那么黄色的将占多大比例呢？在黄色的豌豆（YY）型又占多大比例呢？

解：由题意，得（Yy）型与（Yy）型交配，其子代基因型为YY、Yy、yy，且概率分别为

P（YY）=0.25；P（Yy）=0.5；P（yy）=0.25

故黄色所占的比例P（黄色）=P（YY）+P（Yy）=0.25+0.5=0.75；

25.豌豆的皱皮性（光滑和皱皮）分别由基因R和r来控制，而且知道R对r为显性。若（YyRr）型豌豆与（yyrr）型豌豆杂交（YyRr）×（yyrr），可能的结果及相应的概率是什么？若（YyRr）×（yyRr），结果如何？若（YyRr）×（YyRr），结果又如何？

解：（1）（YyRr）×（yyrr）杂交

可见杂交后代中光滑和皱皮各占；黄色和绿色也各占。

（2）（YyRr）×（yyRr）杂交

可见杂交后代中光滑个体占=0.75，皱皮个体占0.25；黄色个体占0.5，绿色个体占0.5。

（3）（YyRr）×（YyRr）杂交

可见杂交后代中光滑个体占皱皮个体占0.25；黄色个体占绿色个体占0.25。

26.白化病是简单的孟德尔特性。令a与A表示白化与非白化基因，后者为显性，故正常的双亲不会有白化病小孩，除非两人都是（Aa）基因型。假定在某一大的总体中，A基因的比率为p，a基因的比率为q=1-p，故q2为白化病的个体的比率。设白化病不是选择配偶或小孩多少的因素，问子代白化病的期望比率是多少？如果白化病患者只和患者结婚，而且所生小孩数平均和非白化病者生的同样多，问子代白化病的期望比率是多少？

解：（1）白化病不是选择配偶或小孩多少的因素：表示白化病

已知P（B|a1）=0；P（B|a2）=0.25；P（B|a3）=1.0；P（B|a4）=0；P（B|a5）=0；P（B|a6）=0.5；

根据全概率公式

P（B）=0×p4+0.25×4p2q2+q4×1.0+0+0+0.5×4pq3

　　　　　　　　　=p2 q2+q4 +2pq3

　　　　　　　　　=q2

（2）白化病患者只和患者结婚

已知P（B|a1）=0；P（B|a2）=0.25；P（B|a3）=1.0；P（B|a4）=0；

根据全概率公式

P（B）=0 +0.25×4p2 q2+1.0×q4+0

　　　=p2 q2+q4

27.基因型为AaBbCc的二亲本所产生的基因型为aabbcc的子代比例是多少？

解：因等位基因Aa产生aa的比例是等位基因Bb产生bb的比例是等位基因Cc产生cc的比例是故根据概率的乘法原理，AaBbCc的二亲本所产生的基因型为aabbcc的子代比例是