3.6 小波变换

小波变换近年来在图像处理中受到了前所未有的重视，面向图像压缩、特征检测以及纹理分析的许多新方法，如多分辨率分析、时频域分析、金字塔算法等，都可以归于小波变换（wavelet transforms）的范畴。与傅里叶变换相比，小波变换由于其在高频时具有的时间精度和低频时所具有的频率精度，能自动适应时频信号分析的要求，可以聚焦到信号的任意细节等显著特点而得到了越来越广泛的研究和重视，小波变换被迅速应用到图像和语音分析等众多领域。近十年来，对小波变换理论研究已成为应用数学和信号处理领域的一个新方向。

3.6.1 小波变换简介

小波变换是法国从事地质勘探工作的信号处理工程师J.Morlet于1974年首先提出的。Morlet根据物理及信号处理的应用需求提出了推演公式，但在当时的条件下，如同欧拉提出任一函数都能展开成三角函数的无穷级数一样，未能得到著名数学家Lagrange、Laplace等的认可。

实际上，在20世纪70年代，著名科学家A.Calderon表示定理的发现以及Hardy空间的原子分解和无条件基的深入研究为小波变换的诞生做了理论上的准备，著名数学家Y.Meyer于1986年第一次构造出一个真正的小波基，并与S.Mallat合作建立了构造小波基的方法及多尺度分析法，随后，小波变换开始受到广泛的重视。其中，比利时女数学家I. Daubechies撰写的Ten Lectures on Wavelets对小波的普及起了重要的推动作用。

与傅里叶变换、加伯变换（加窗傅里叶变换）相比，小波变换又被称为“数学显微镜”，是一个时间和频率的局域变换，因而能有效地从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算对信号进行多尺度细化分析，有效解决了傅里叶变换面临的许多问题，成为继傅里叶变换以来在科学方法上的重大突破之一。

小波变换具有广泛的适应性，特别是对非平稳随机信号，小波变换同样可以适应。作为一种数学分析工具，小波变换可以用于许多学科，如信号分析、量子力学、理论物理、数值分析、曲线曲面构造、微分方程求解、控制论、军事电子对抗、军械装备智能化等；小波分析在信号处理中的应用也十分广泛，它可以用于信号处理的各方面，如信号滤波、时频分析、信噪分离、弱信号提取、求分形指数、信号识别与诊断和多尺度边缘检测等。小波分析还可用于图像滤波、去噪声、图像压缩等很多方面，基于小波的图像压缩算法不仅压缩比高、速度快，而且压缩后能保持信号与图像的特征不变，在传输中具有一定的抗干扰性。

3.6.2 连续小波变换

傅里叶变换是以两端无限延伸的正弦波作为基函数的，其重要特点是可以展现信号的频域特征，但却基本消失了信号的时间局部化信息。为了克服傅里叶变换的不足，人们提出了小波变换。小波变换的基函数在频率上和位置上都是变化的，是有限宽度的波，称为小波（wavelet），基于它们的变换就是小波变换。小波变换能同时刻画信号时频两域的特性，它通过放缩母小波来获得信号的频率信息，通过平移母小波来获得信号的时间信息。对小波的放缩和平移是计算小波系数的需要，小波系数反映了小波和局部信号之间的相关特性。

1. 一维连续小波变换

设函数f（t）具有有限能量，即f（t）∈L2（R），则连续小波变换（CWT）的定义为

式中，a为尺度因子；b为位移因子；函数ψa，b（t）称为小波。

连续小波变换也称为积分小波变换，积分核为的函数族。若a＞1函数ψ（t）具有伸展作用，若a＜1函数ψ（t）具有收缩作用。随着a的减小，ψa，b（ω）的支撑区间也随之变窄，而ψa，b（ω）的频谱随之向高频展宽，反之亦然。因此，小波变换可以实现窗口大小的自适应变化。当信号频率升高时，时窗宽度变窄，而频窗宽度则增大，从而有利于提高时域分辨力；当信号频率降低时，时窗宽度增大，而频窗宽度则变窄，提高频率分辨力。

2. 小波的选择

小波ψ（t）的选择不是唯一的，但也不是任意的，ψ（t）是具有归一化、具有单位能量的解析函数，所有小波是通过对基本小波进行尺度伸缩和位移得到的。

（1）基本小波是一具有特殊性质的函数，它是振荡衰减的，而且通常衰减得很快，在数学上满足积分为零的条件：

因此，基本小波是一个积分为零且能量集中在以t=0为中心的邻域内，而且小波函数还具有速降性和紧支性。其高阶矩也为0，即

该条件称为小波的容许条件：

由于，Cψ＜∞，因此，ψ（ω）连续可积，即

根据式（3-111）可以得出，小波ψ（t）在t轴上具有正负取值才可能满足上式的积分为0，因此，ψ（t）应具有振荡性。

（2）小波ψ（t）的定义域是紧支撑的，即在一个很小的区间之外，小波ψ（t）迅速衰减为0，也就是说小波函数ψ（t）具有速降性。

综上所述，小波ψ（t）是一种具有振荡性的且迅速衰减的波。

3. 小波变换的逆变换

对于所有的f（t），ψ（t）∈L2（R），则连续小波变换的逆变换定义为

4. 二维连续小波变换

二维小波变换也分为二维连续小波变换和二维离散小波变换。

（1）二维连续小波变换为

式中，（x，y）为二维连续小波基函数，即

（2）二维小波变换的逆变换为

二维连续小波的允许条件如下：

（1）定义域为紧支撑集。

（2）均值为0，即

5. 几种典型的小波

小波ψ（t）的选择是非常灵活的，凡满足条件的函数均可以作为小波函数，其中Haar小波、Mexico Hat小波和Morlet小波是常用的小波函数。

1）Haar小波

Haar小波函数为

该正交函数是Haar于1990年提出的函数，对t平移可得到

Haar函数波形如图3-9所示。

如图3-10所示为两个小波ψ1，0（t）和ψ1，1（t）的波形。

该基本小波定义的小波变换称为Haar小波变换，是各种常用的小波变换中最简单的一种变换形式。

2）Mexico Hat小波

Mexico Hat小波是Gauss函数的二阶导数，其函数形式为

Mexico Hat小波也称为Marr小波，Mexico Hat小波是实数函数小波，它的更一般形式由Gauss函数的n阶导数定义，即

相应的谱为

Mexico Hat小波的波形如图3-11所示。

3）Morlet小波

Morlet小波是最常用的复数值小波函数，其形式为

6. 小波变换的性质

小波变换常用的重要特性如下：

（1）小波变换是一个满足能量守恒方程的线性运算，它将信号分解成对空间和尺度（即时间和频率）的独立贡献，同时又不失原信号所包含的信息。

（2）小波变换不一定要求是正交的，小波基不唯一。小波函数系的时宽－带宽积很小，且在时间和频率轴上都很集中，即展开系数的能量很集中。

（3）小波变换相当于一个具有放大、缩小和平移等功能的数学显微镜，通过检查不同放大倍数下信号的变化来研究信号的动态特性。

（4）小波变换巧妙地利用了非均匀的分辨率，较好地解决了时间和频率分辨率的矛盾；在低频段用高的频率分辨率和低的时间分辨率（宽的分析窗口），而在高频段则用低的频率分辨率和高的时间分辨率（窄的分析窗口），这与时变信号的特征一致。

（5）小波变换将信号分解为在对数坐标中具有相同大小频带的集合，这种以非线性的对数方法而不是以线性方法处理频率的方法对时变信号具有明显的优越性。

（6）小波变换是稳定的，是信号的冗余表示。由于a、b是连续变化的，相邻分析窗的绝大部分是相互重叠的，相关性很强。

（7）小波变换与傅里叶变换一样，具有统一性和相似性，其正反变换具有完美的对称性，小波变换具有基于卷积和QMF的塔形快速算法。

小波变换具有许多重要而又有应用价值的性质，其中线性特性、平移和伸缩特性、微分运算特性等三个常用性质如下：

1）线性特性

设f1（t）的小波变换为Wf1（a，b），f2（t）的小波变换为Wf2（a，b），对于小波变换则有如下线性关系。若f（t）=k1f1（t）+k2f2（t），则有

2）平移和伸缩特性

设f（t）的小波变换为Wf（a，b），即

则有

（1）平移特性：

（2）伸缩特性：

3）微分运算特性

设f（t）的小波变换为Wf（a，b），则有如下微分性质：

3.6.3 离散小波变换

1. 一维离散小波变换

连续小波变换通常用于理论分析，在离散的数值计算中，需要对小波变换的尺度因子、位移因子进行离散化。

即取，m，n为整数，a0＞0，b0＞0，通常取a0=2，则一维离散小波定义为

由此可得一维离散小波变换（DWT）为

2. 二维离散小波变换

一维离散小波变换可以扩展到二维，这里仅考虑尺度函数是可分离的，在二维情况下，需要一个二维可分离的尺度函数φ（x，y）和三个可分离的方向敏感的二维小波ϕ1（x，y）、ϕ2（x，y）和ϕ3（x，y）。分别是一维尺度函数φ和ϕ相应的小波函数的乘积，即

先分别给定可分离的二维尺度函数及二维小波函数，定义尺度基函数和平移基函数为

式中，i，j，m，n均为正整数，由此可得大小为M×N的函数f（x，y）的二维离散小波变换为

式中，j0是任意的初始尺度，系数Wφ（j0，m，n）定义了在尺度j0的f（x，y）的近似值，系数对j≥j0，附加了三个方向的细节。一般情况令j≥j0，M=N=2J（j=0，1，2，3，…，J—1和m，n=0，1，2，3，…，2j—1）。

二维离散小波逆变换为