§1.1 n阶行列式定义

导学提纲

1．何谓2阶行列式？怎么计算2阶行列式的值？

2．二元一次方程组解的公式？

3．何谓3阶行列式？怎么计算3阶行列式的值？

4．三元一次方程组解的公式？

5．何谓元素aij的余子式M ij？何谓aij的代数余子式A ij？

6．何谓n阶行列式？

为便于记忆二元一次方程组解的公式，引入

定义1.1.1 记号

称为2阶行列式，它表示代数和a11a22-a12a21，即

2阶行列式中，横排称为行，竖排称为列．位于第i行第j列的元素ai j称为（i, j）元（i, j=1,2）.a11, a22称为主对角线上的元素；a12, a21称为次对角线上的元素．2阶行列式的算法是：主对角线上的两个元素的乘积减去次对角线上两个元素的乘积．例如，

定理1.1.1 二元一次方程组

当系数行列式

时，有唯一解：

证 ①×a22-②×a12得

（a11a22-a12a21）x1=b1a22-b2a12，

如果a11a22-a12a21≠0，那么

②×a11-①×a21得

（a11a22-a12a21）x2=a11b2-a21b1，

如果a11a22-a12a21≠0，那么

例1.1.1 解方程组

解 因为系数行列式

所以有唯一解：

（读者可将解代入方程组验算之）.

用加减消元法解三元一次方程组

得

定理1.1.2 三元一次方程组（1），当系数行列式

时，有唯一解：

为此引入

定义1.1.2 记号

称为3阶行列式．它表示代数和

a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a11a23a32-a12a21a33-a13a22a31.

即

3阶行列式等于3! =6项代数和．每一项都是取自不同行不同列的3个元素相乘，主对角线方向三项前面带正号，次对角线方向三项前面带负号．3阶行列式算法如下图：

例如，

例1.1.2 解方程组

解 因为系数行列式

所以有唯一解：

（读者可以将解代入方程组验算之）.

例1.1.3 解方程

解 （1）左边=（λ-3）（λ+1）-5=λ2-2λ-8=（λ+2）（λ-4）=0，

所以方程有两个根：λ1=-2, λ2=4.

（2）左边=（λ+1）（λ-3）（λ-2）-（-1）×4×（λ-2）=（λ-2）（λ2-2λ+1）=（λ-2）（λ-1）2=0，

所以方程有根：λ1=2, λ2=1（2重）.

定理1.1.1和定理1.1.2可以推广到n个方程n个未知量的一次方程组情形（见 §1.4）．为此需要引入n阶行列式定义，先分析3阶行列式与2阶行列式的关系．

定义1.1.3 行列式中元素aij的余子式Mij是指去掉aij所在第i行和第j列元素后余下的行列式．aij的代数余子式Aij=（-1）i+jMij.

例如，3阶行列式

中，元素

所以3阶行列式还可以定义为

即3阶行列式的值等于第1行每个元素与其代数余子式乘积之和．

例如，

现在我们归纳出n阶行列式定义．

定义1.1.4 n=2阶行列式已经定义（定义1.1.1），假设n-1阶行列式已经定义，那么n阶行列式

其中A1j=（-1）1+jM1j，

或简单记作|aij|nn.

例1.1.4 按定义计算下列行列式．

解

一般地，n阶下三角行列式

第（3）题答案说明4阶行列式中次对角线上4个元素的乘积前面带正号．

可见，对于n≥4阶行列式，2、3阶行列式的对角线算法已不适用！

第（4）题可以作为公式用．例如，

一般地，设|A|=|aij|r, |B|=|bij|s，那么有公式

习题1.1

1．填空题：

2．解方程：

3．解方程组：

4．按定义计算行列式：

5．按定义计算行列式：