马克思主义基本定理的一般证明

冯金华

一 引言

如同数学中的微积分基本定理把微分学和积分学联系在一起一样，在马克思主义经济学中，也有一个类似的基本定理，把剩余价值理论和平均利润理论联系在一起，从而，把价值理论和（生产）价格理论联系在一起。这就是所谓“马克思主义的基本定理”（Marxian Fundamental Theorem），或“基本的马克思主义定理”（Fundamental Marxian Theorem）。概括起来说就是，正的平均利润率存在的必要和充分条件是存在正的剩余价值率。具体而言，它包括两个方面：一方面，如果一国经济的价格体系中的平均利润率是正的，则相应的价值体系中的剩余价值率也一定是正的，即由正的平均利润率可以推出正的剩余价值率，或者说，正的剩余价值率是正的平均利润率的必要条件；另一方面，如果价值体系中的剩余价值率是正的，则相应的价格体系中的平均利润率也一定是正的，即由正的剩余价值率可以推出正的平均利润率，或者说，正的剩余价值率是正的平均利润率的充分条件。

两位日本经济学家置盐信雄（Okishio）和森岛通夫（Morishima）对马克思主义的基本定理做出了杰出的贡献。置盐信雄（1963）第一个提出了价格体系中的平均利润率与价值体系中的剩余价值率之间的关系问题。在他看来，马克思关于利润的一个中心论点是，对剩余劳动的剥削，即正的剩余价值率，是正的利润率存在的必要条件；但是，正的剥削率仅仅只是保证有正的剩余产品的存在，并不意味着这些剩余产品也可以转化为相应的货币形式。为了使剩余产品能够转化为货币形式的剩余，还需要有充分的需求存在。因此，正的剥削率只是生产方面的必要条件，还需要有市场方面的附加条件，特别是，还需要有资本家阶级方面对剩余产品的充分需求。森岛通夫（1973）认为，置盐信雄所证明的实际上只是定理的“必要性”，而不是“充分性”。进一步证明充分性的荣誉则被森岛通夫归于自己，尽管他也承认，这一证明其实并不困难。

按照森岛通夫的看法，之所以称“剩余价值率是平均利润率的充分必要条件”这一论断为马克思主义的“基本定理”，是因为它起着连接马克思主义经济理论中两大组成部分即剩余价值理论和平均利润理论的桥梁作用。根据这一定理，只要有剩余价值，就一定有利润，反之，如果没有剩余价值，也就不会有利润。因此，利润的存在，从而，资本主义经济的存在，要完全依赖于资本对劳动的剥削。特别是，根据这个定理，只要我们知道，在资本主义经济中，每个部门都获得了正的利润，或者说，平均利润率大于零，则即使我们不知道劳动力再生产所必需的基本生活资料以及这些生活资料的价值各是多少，即不知道劳动力价值是多少，亦可以知道，劳动者所创造的价值一定大于他们的劳动力价值。换句话说，只要在现实经济中平均利润率是正的，则根据马克思主义的基本定理就可以推断出，剩余价值率也一定是正的，从而，劳动者一定没有得到他们所生产的全部价值，一定存在着资本对劳动的剥削。

然而，仔细分析起来，无论是置盐信雄，还是森岛通夫，对马克思主义基本定理的证明都存在一个致命的缺陷，即根据所有部门都有正的平均利润而错误地断言，所有部门都必有正的净产出。此外，他们还没有必要地假定了增广投入系数矩阵不可分解。前者显然并不正确，而后者又只有在一些特殊情况下才成立。因此，他们对定理的证明实际上并不十分成功（或最多只适用于所有部门都具有正的净产出以及增广投入系数矩阵不可分解的特殊情况）。

本文根据马克思关于社会总产品的物质构成和价值构成的理论，重新证明马克思主义的基本定理。与置盐信雄和森岛通夫等人不同，本文的证明完全不需要他们所做的那些特殊假定。换句话说，按照本文的讨论，证明马克思主义的基本定理既无须假定每个部门都有正的净产出，也无须假定增广投入系数矩阵不可分解。就此而言，本文的证明适用性更广，因而也更加具有一般性。

二 现有的证明及不足

存在着各种各样的对马克思主义基本定理的讨论（罗默，2007）。这些讨论大体上以置盐信雄和森岛通夫的证明为基础。相对而言，森岛通夫的证明要更加的全面和充分，在某种程度上也更加的简单明了。因此，本文就以他的证明为例，说明现有证明的基本思路及不足之处。

森岛通夫的证明建立在他关于整个经济的价值体系和价格体系的基础之上。他们的价值体系可被写为：这里，下标Ⅰ和Ⅱ分别代表资本品和消费品，ΛⅠ和ΛⅡ分别表示单位资本品和单位消费品的价值行向量, LⅠ和LⅡ分别表示生产单位资本品和单位消费品所消耗的直接劳动行向量，AⅠ和AⅡ分别表示生产单位资本品和单位消费品所消耗的资本品的“物质消耗系数矩阵”。于是，ΛⅠAⅠ和ΛⅠAⅡ分别表示生产单位资本品和单位消费品所消耗的资本品价值（物化劳动）行向量，ΛⅠAⅠ+LⅠ和ΛⅠAⅡ+LⅡ分别表示生产单位资本品和单位消费品所消耗的全部劳动（包括直接劳动和物化劳动）行向量，整个公式则表示，任何一种商品（资本品或消费品）的（单位）价值量等于生产该商品一个单位所消耗的全部劳动量。

进一步来看，如果假定所有部门的剩余价值率都相同，例如，都等于e，则价值体系就可以更加具体地写为：

这里，B表示维持一个工人一天生存所必需的消费品列向量，从而，ΛⅡB表示维持工人一天生存的消费品的价值量，ωΛⅡB表示再生产一个单位（如一个小时）劳动所必需的消费品的价值量（ω是以小时数计算的工作日长度的倒数），亦即单位劳动的“劳动力价值”，或单位劳动时间中的“必要劳动”, eω ΛⅡB表示单位劳动时间中的剩余劳动。由于单位劳动时间中的必要劳动加剩余劳动正好为一，即（1+e）ωΛⅡB=1，故可知，公式和价值体系是完全一致的。

另一方面，若设平均利润率为π，则森岛通夫的价格体系可被写为：

这里，pⅠ和pⅡ分别表示单位资本品和单位消费品的价格行向量，pⅠAⅠ和pⅠAⅡ分别表示生产单位资本品和单位消费品所消耗的资本品成本行向量，wLⅠ和wLⅡ分别表示生产单位资本品和单位消费品所消耗的直接劳动成本行向量（w为小时工资）, pⅠAⅠ+wLⅠ和pⅠAⅡ+wLⅡ分别表示生产单位资本品和单位消费品所消耗的全部成本（包括资本品成本和直接劳动成本）行向量，（1+π）（pⅠAⅠ+wLⅠ）和（1+π）（pⅠAⅡ+wLⅡ）分别表示生产单位资本品和单位消费品所消耗的全部成本加平均利润的行向量。于是，价格体系意味着，任何一种商品（资本品或消费品）的价格等于生产该商品一个单位所消耗的全部成本加平均利润。

进一步来看，若假定工资等于劳动力价格，即w=ωpⅡB，则价格体系也可以更加具体地写为：

根据价值体系和相应的价格体系，森岛通夫展开了对马克思主义基本定理的证明。首先来看他们对定理的“必要性”的证明，即如果价格体系中的平均利润率π大于零，则相应的价值体系中的剩余价值率e也一定大于零。

由价格体系显而易见，如果π＞0，从而，每个生产部门都存在正的平均利润，则必有如下的不等式成立：

pⅠ＞pⅠAⅠ+pⅡωBLⅠ

pⅡ＞pⅠAⅡ+pⅡωBLⅡ

或者

这意味着，不等号右边的第二个矩阵是所谓“生产性”的，于是有大于零的产出列向量xⅠ和xⅡ使得：注1：

注1： 矩阵B是生产性的，假设存在一个正的列向量x0，使得x0＞Bx0。

它表示，每种产品的生产都有所谓的“净产出”，即所有部门的产出在减去物质投入消耗之后都有“剩余”。

在上面不等式的两边同时左乘均为正数的单位资本品和单位消费品的价值行向量可得：

展开后则有：

另一方面，根据价值体系有：

ΛⅠ=ΛⅠAⅠ+ωΛⅡBLⅠ+eω ΛⅡBLⅠ

ΛⅡ=ΛⅠAⅡ+ωΛⅡBLⅡ+eω ΛⅡBLⅡ

将这两个等式分别右乘资本品和消费品的产出列向量即xⅠ和xⅡ然后相加得到：

最后，式和式合在一起意味着：

e（ωΛⅡBLⅠxⅠ+ωΛⅡBLⅡxⅡ）＞0

因为ωΛⅡBLⅠxⅠ+ωΛⅡBLⅡxⅡ＞0，故必有e＞0。这就证明：若π＞0，则e＞0。

其次来看森岛通夫对定理的“充分性”的证明，即如果价值体系中的剩余价值率e大于零，则相应的价格体系中的平均利润率π也一定大于零。

根据价值体系，若e＞0，则必有如下的不等式成立：

ΛⅠ＞ΛⅠAⅠ+ωΛⅡBLⅠ

ΛⅡ＞ΛⅠAⅡ+ωΛⅡBLⅡ

再假定所有商品的价格（包括工资）与相应的价值（包括劳动力价值）的比率都相同，或者说，假定不同商品的价格比率都等于它们的价值比率，即：

这里，α是某个大于零的常数，则上述不等式就可写为：

亦即：

pⅠ＞pⅠAⅠ+wLⅠ

pⅡ＞pⅠAⅡ+wLⅡ

它意味着，所有资本品和消费品的生产都有正的利润，从而，平均利润率为正，即有π＞0。

这就证明：若e＞0，则π＞0。

森岛通夫对马克思主义基本定理的证明存在一个严重缺陷，即他们根据平均利润率大于零从而每个部门都有正的利润，错误地断言每个部门都必有正的所谓“净产出”。

从每个部门的利润大于零断言每个部门的净产出也大于零的错误可以说是“一目了然”的。推翻这一断言的最明显的反例就是：在简单再生产的条件下，所有生产资本品的生产部门尽管都可以有正的利润或剩余价值，但却都不会有正的净产出——因为根据简单再生产的定义，整个经济生产出来的全部资本品应当恰好用于补偿所有部门对资本品的消耗，既不可能多也不可能少。如果某个生产资本品的生产部门有净产出，即生产出来的这一资本品的数量除了补偿所有部门对资本品的消耗还有余，则这意味着，我们所讨论的已经不再是简单再生产，而是所谓的扩大再生产。由此可见，在简单再生产的条件下，尽管资本品的生产中存在有正的利润或剩余价值，但却不存在正的净产出。

由于森岛通夫实际上并不能从正的利润推出正的净产出，故他接下来从正的净产出进一步推出正的剩余价值率也就变得没有太大意义了，除非能够再增加一条假定，即假定所有部门的净产出都大于零。但是这样一来，他对马克思主义基本定理的必要性的证明就受到了极大的限制——限制是如此之大，以至于很难说还有什么实际价值，因为现在在整个经济中只要有一种产品的生产没有正的净产出（而这是非常有可能的），则根据森岛通夫的逻辑，就无法由平均利润率大于零的前提得到剩余价值率亦大于零的结论。

森岛通夫为“所有部门的净产出都大于零”还提出了一个“现实”的理由，即“工业技术已经发展到这样（高）的水平”。但这个理由存在如下几个方面的问题。首先，无论技术发展到什么样的水平，似乎都不能完全排除某些部门的净产出等于零的可能。其次，即使我们承认，技术的高度发展确实会导致所有资本品生产部门都有正的净产出，但根据森岛通夫的证明还是无法确定，在技术尚未如此发展，从而，并非所有的资本品生产部门都具有正的净产出时，正利润的存在是否仍然意味着资本对劳动的剥削。最后，即使所有的资本品生产部门实际上都有正的净产出，但就纯粹的理论分析而言，仍然需要证明，在简单再生产（即所有资本品生产部门都不具有正的净产出）的条件下，平均利润率大于零是否就意味着剩余价值率大于零。总之，森岛通夫对马克思主义基本定理的证明最多只适用于所有资本品生产部门的净产出都大于零的“特殊”情况，而并不具有一般性。

三 一般证明：两部类模型

我们已经知道，在森岛通夫对马克思主义基本定理的证明中，断言从所有部门都存在正的利润可以推出所有部门都有正的净产品其实并不正确，而假定增广投入系数矩阵不可分解又只有在一些特殊的情况下才能够成立，故他们对定理的证明有着非常大的局限性。因此，有必要在不断言所有部门都有正的净产品和不假定增广投入系数矩阵不可分解的更加一般的条件下来重新证明马克思主义的基本定理。

为了避免过多地使用向量和矩阵符号，从而使证明过程显得不必要的烦琐和复杂，也为了使讨论更加贴近马克思的原意，我们从马克思关于两大部类再生产的模型开始分析，并假定第一部类只生产一种叫作“生产资料”（资本品）的产品，第二部类只生产一种叫作“生活资料”（消费品）的产品，并假定，无论是生产资料的生产还是生活资料的生产，都同时需要投入一定数量的生产资料和直接活劳动，而提供直接活劳动的劳动力的再生产又需要消耗一定数量的生活资料。

下面首先根据马克思关于两大部类社会总产品的价值构成和实物构成的理论，建立相应的价值体系和价格体系，然后分别说明，若价格体系中的平均利润率为正，则相应的价值体系中的剩余价值率亦为正，反之，若价值体系中的剩余价值率为正，则相应的价格体系中的平均利润亦为正。

马克思关于两大部类社会总产品的价值构成和实物构成的理论可以概括为如下两个等式：

w1=c1+v1+m1

w2=c2+v2+m2

其中，第一个等式描述了生产生产资料的第1部类的行为：它使用不变资本c1和可变资本v1生产了一个包括剩余价值m1在内的生产资料价值w1——c1和v1分别是第1部类生产w1时消耗掉的第1和第2部类的产品价值。第二个等式描述了生产生活资料的第2部类的行为：它使用不变资本c2和可变资本v2生产了一个包括剩余价值m2在内的生活资料价值w2——c2和v2分别是第2部类生产w2时消耗掉的第1和第2部类的产品价值。这里，我们假定，无论是生产资料的生产，还是生活资料的生产，都需要消耗不变资本和可变资本。这意味着，在上面的公式中，两大部类的不变资本和可变资本都大于零。

若用e表示两大部类的剩余价值率，即e=m1/v1=m2/v2，则有m1=ev1、m2=ev2。于是，上面两个式子又可写为：

w1=c1+v1+ev1

w2=c2+v2+ev2

或者

w1=c1+（1+e）v1

w2=c2+（1+e）v2

进一步来看，每一部类的价值总量wi（i=1, 2）又可以分解为相应的单位价值量（用zi表示）和产量（用qi表示）的乘积，即有wi=ziqi。其中，每一部类的产量都同时需要两大部类的产品作为投入。例如，假定第1部类每生产一单位生产资料所消耗的第1和第2部类的产品数量分别为a11和a12，则它生产q1的生产资料所消耗的第1和第2部类的产品数量就等于a11q1和a12q1，相应的价值量分别为z1a11q1和z2a12q1；另外，如果假定第2部类每生产一单位生活资料所消耗的第1和第2部类的产品数量分别为a21和a22，则它生产q2的生活资料所消耗的第1和第2部类的产品数量就等于a21q2和a22q2，相应的价值量分别为z1a21q2和z2a22q2。

于是，马克思的社会总产品构成模型可以变换为如下等价的但明确包括技术关系在内的价值体系：

z1q1=z1a11q1+（1+e）z2a12q1

z2q2=z1a21q2+（1+e）z2a22q2

由于假定两大部类的不变资本和可变资本都大于零，故在上式中，所有的产出q1和q2、价值z1和z2以及技术系数aij（i, j=1, 2）也都大于零。此外，对于“自身”消耗系数来说还有：aii＜1（i=1, 2）。它的经济意义很明显：生产1单位生产资料所消耗的生产资料必须小于1个单位，同样，生产1单位生活资料所消耗的生活资料也必须小于1个单位，否则，这些生产就是没有意义的。

由于q1和q2不等于零，故在上面第一式的两边除以q1、第二式的两边除以q2后得到：

这就是马克思两部类经济的价值体系。

另外，考虑一个在技术结构上与价值体系完全一样的价格体系（即假定价格体系与价值体系的技术系数完全一样），则有：

这就是相应于马克思两部类经济的价值体系的价格体系。其中，p1和p2分别是生产资料和生活资料的价格，π是整个经济的平均利润率。和价值体系中的所有价值都大于零一样，价格体系中的所有价格亦大于零。

现在的任务是根据价值体系和价格体系来证明马克思主义的基本定理。和置盐信雄、森岛通夫一样，我们也先来证明“必要性”，即证明，若价格体系中的平均利润率π大于零，则相应的价值体系中的剩余价值率e就大于零，然后证明“充分性”，即证明，若价值体系中的剩余价值率e大于零，则相应的价格体系中的平均利润率π就大于零，并且在这些证明中，无须假定所有部门的净产品都大于零，也无须假定增广投入系数矩阵不可分解。

具体来说，“必要性”的证明可以看成包括两个步骤。第一步是由价格体系中的平均利润率大于零，证明不等式

成立；第二步再由该不等式，证明价值体系中的剩余价值率大于零。两步合在一起，即可由平均利润率大于零得到剩余价值率大于零。

首先，由平均利润率π＞0，根据价格体系可得：

p1＞p1a11+p2a12

p2＞p1a21+p2a22

它意味着

于是有

或者

亦即

（1-a11）（1-a22）＞a12a21

这就是不等式。

其次，把价值体系写成如下的矩阵形式：

由于价值不能等于零，故其系数矩阵行列式必等于零，即必有：

展开即得：

1-a11-a22-a12a21+a11a22=[（1-a11）a22+a12a21]e

从而有：

在上式中，分母显然大于零，因为aij＞0（i, j=1, 2）且a11＜1；分子根据前面的公式亦大于零。于是有e＞0。

将以上两步的结果综合在一起即得到两部类经济中平均利润率大于零的必要条件，即：如果两部类经济的价格体系中的平均利润率π大于零，则相应的价值体系中的剩余价值率e就大于零。

“充分性”的证明也可以看成包括两个步骤。第一步是由价值体系中的剩余价值率大于零同样推出式，并由式证明不等式

成立；第二步再由该不等式，证明价格体系中的平均利润率大于零。两步合在一起，即可由剩余价值率大于零得到平均利润率大于零。

第一步相对简单。由价值体系可知，如果e＞0，则必有如下不等式成立：

z1＞z1a11+z2a12

z2＞z1a21+z2a22

类似于前面证明必要性的第一步，由上面两式可同样推出不等式。将不等式换一个形式写为：

a12a21＜1+a22a11-（a22+a11）

上式两边同乘以4再加上（a22-a11）2即可得到：

（a22-a11）2+4a12a21＜[2-（a22+a11）]2

由于上式两边都大于零，故两边取算术平方根后，不等号方向保持不变：

或者

又由于上式的左边也大于零，于是有：

再在上式两边除以2即得到不等式。

第二步稍微复杂一点，再细分如下几步。首先，把价格体系写成如下的矩阵形式：

这里，λ=1/（1+π）。

由于价格不等于零，故式的系数矩阵行列式必等于零，即必有：

展开后有：

λ2-（a22+a11）λ+a11a22-a12a21=0

解之即得：

或者

其次，由式可知，在价格体系或中，有一个方程是多余的。略去多余的方程（如第二个方程）后有：

（λ-a11）p1-a12p2=0

解之可得：

为保证上式中所有的价格都大于零，必须λ-a11＞0。这又意味着，必须有：

最后，将上述关于λ的表达式代入不等式可得到0＜λ＜1，或者0＜1/（1+π）＜1。其中，第一个不等式意味着1+π＞0，再将1+π＞0代入第二个不等式即有π＞0。

将上述各步的结果综合在一起即得到两部类经济中平均利润率大于零的充分条件，即：如果两部类经济的价值体系中的剩余价值率e大于零，则相应的价格体系中的平均利润率π就大于零。

最后，将上述两部类经济中平均利润率大于零的必要条件和充分条件综合在一起即得到：两部类经济中价格体系中的平均利润率大于零的充分必要条件是相应的价值体系中的剩余价值率大于零。

四 一般证明：多部门情况

以上讨论尽管主要是针对两部类经济的情况，但显然也可以推广到包括更多个部门的更加一般的经济中去。换句话说，无论是在两部类经济中，还是在多部门经济中，马克思主义的基本定理毫无例外都是成立的。

设整个经济包括n个部门，其中，m个部门生产资本品，n-m个部门生产消费品。为简单和明确起见，我们假定第1到第m个部门生产资本品，第m+1到第n个部门生产消费品。于是，一般的n部门经济的价值体系可以表示为：

相应的价格体系可以表示为：

p1=（1+π）（p1a11+…+pna1n）

需要注意的是，尽管在价值体系中，需要区别资本品和消费品（它们分别是不变资本和可变资本的物质载体），因为剩余价值来源于可变资本部分，而与不变资本部分无关，但在价格体系中却无须做这种区分，因为平均利润既来源于可变资本部分，也来源于不变资本部分。和讨论两部类经济时一样，我们这里也假定：所有的价值zi、价格pi和技术系数aij都大于零，以及所有的自身消耗系数aii都小于1。

现在要根据一般经济的价值体系和价格体系来证明马克思主义的基本定理。还是先来看必要性，即证明π＞0→e＞0。

首先，若π＞0，则由价格体系可知有：

亦即：

为了方便后面的推导，我们把上面的不等式写成如下较为详细的矩阵形式：

容易看到，在不等式左边的矩阵中，主对角线上的所有元素即1-aii（i=1, …, n）都是正的，而所有的其他元素-aij（i, j=1, …, n; i≠j）都是负的（因为aij是正的）。

现在对不等式的第2至第n行进行如下两种正的行变换：用第2行乘以1-a11，再加上第1行的a21倍，……，用第n行乘以1-a11，再加上第1行的an1倍。经过这样的变换之后，不等式显然成为：

其中，表示经过上述（第1次）两种正的行变换之后得到的第i行第j列的元素。

容易看到，在不等式中，第一，不等号的方向和原来一样没有变化——这是因为，在不等式的两边同时乘以正数1-a11不会改变不等号的方向，两个同向不等式相加也不会改变不等号的方向；第二，在不等式左边的矩阵中，不在主对角线上的所有元素（i≠j）和原来一样仍然为负——这是因为，任何一个正的或负的元素乘以一个正数后仍然是正的或负的，任何一个负的元素加上一个负数后仍然是负的；第三，主对角线上的所有元素（i=2, …, n）的原来一样仍然为正——例如，第2行的主对角线元素。这是因为，在不等式中，第二个不等式可以写为：

亦即

由于, …,如前所说全都为负，故--…-为正，从而，这意味着。

由于不等式左边所有主对角线上的元素都是正的，所有其他元素都是负的，故我们又可以进一步对不等式的第3至第n行进行类似如上的两种正的行变换：用第3行乘以（正数），再加上第2行的（正的）-倍，……，用第n行乘以（正数），再加上第2行的（正的）-倍。于是得到：

其中，表示经过上述（第2次）两种正的行变换之后得到的第i行第j列的元素。

同样容易看到，在不等式中，由于同样的原因，不等号的方向不会变化，且左边矩阵中不在主对角线上的所有元素仍然为负、所有主对角线上的元素（i=3, …, n）仍然为正——例如，第三个不等式可以写为：

亦即

由于, …,如前所说全都为负，故为正，从而，这意味着。

于是，又可以再对不等式继续进行类似如上的正的行变换……直到最后得到：

其中，表示经过上述（第n-1次）两种正的行变换之后得到的第n行第n列的元素。

现在已经显而易见，在不等式左边的矩阵中，第n行第n列的元素一定为正——这是因为，其中的第n个不等式可以写为：

这意味着。这样，我们便证明了：若π＞0，则必有式中的。

其次，我们来证明，若π＞0，从而，则必有e＞0。这可用反证法，即先假定π＞0从而但e≤0，并导出矛盾的结果，从而说明若π＞0则必有e＞0。

若e≤0，则由价值体系可知有：

亦即：

其较详细的矩阵形式为：

于是，进行与前相同的正的行变换可得

这意味着

亦即

这与从而π＞0矛盾。于是必有π＞0→e＞0

将上述各步的结果综合在一起即得到：

定理1（必要条件） 设在一般的n部门经济中，当价格体系中的平均利润率π大于零时，价值体系中的剩余价值率e亦必大于零，即有：

π＞0→e＞0

现在根据n部门经济的价值体系和价格体系来证明马克思主义的基本定理的充分性，即证明：e＞0→π＞0。

首先，若e＞0，则由价值体系可知有：

亦即：

其较详细的矩阵形式为：

对其进行与前相同的正的行变换可得

这意味着

亦即

其次，若e＞0，从而，则必有π＞0。同样用反证法，即先假定e＞0从而但π≤0，并导出矛盾的结果。

若π≤0，则由价格体系可知有：

亦即：

其矩阵形式为：

通过正的行变换可得：

这意味着

亦即

与假定e＞0从而矛盾，故必有：e＞0→π＞0

将上述各步的结果综合在一起即得到：

定理2（充分条件） 若n部门经济的价值体系中的剩余价值率大于零，则相应的价格体系中的平均利润率就大于零，即有：

e＞0→π＞0

最后，将定理1的π＞0→e＞0和定理2的e＞0→π＞0综合在一起即有π＞0↔e＞0。于是得到：

定理3（马克思主义的基本定理） n部门经济的价格体系中的平均利润率大于零的充分必要条件是相应的价值体系中的剩余价值率大于零。