第2章　割补法

在求不规则几何图形面积的时候，一个常用的方法是把图形切下一部分，把切下来的那部分移动到其他位置，拼成一个规则的图形．这个方法一般称为割补法．显然第1章介绍的分块法可以看成是割补法的特例．比如我们熟悉的平行四边形面积公式，其推导过程的核心就是通过割补转化为长方形（或正方形），求梯形面积则是通过割补转化为平行四边形，求圆面积是通过割补转化为近似长方形，等等．

割补法在勾股定理的证明中有悠久的历史，最经典的就是下面的证法30．

证法30　如图2.1所示，首先作两个边长分别为a和b的正方形，设它们的总面积为S，如子图(a)所示．再从子图(b)和(c)中可以看出，S可以分割成4个全等的直角三角形和一个边长为x=b−a的小正方形．在子图(d)中又把这4个直角三角形和小正方形拼接成了一个边长为c的正方形．于是可知a2+b2=c2．　　□

在参考文献[2]中记录了近40种和证法30类似的证法，其中比较典型的是下面的证法31．

证法31　如图2.2所示，截取CR=a，则SMPRF=(b−a)2=S2，SCRPL=SCBNL．故有

下面的证法32也是从证法30变化而来的．

证法32　如图2.3所示，子图(a)由两个边长分别为a和b的正方形拼接而成．现在我们将子图(a)中的Rt△ABC沿向量平移，便可得到子图(b)中的Rt△HDG．类似地，将Rt△ABC沿向量平移后，便可得到子图(b)中的Rt△AHF．

这样我们就可以通过割补法将子图(a)中的两个正方形拼接为子图(b)中的正方形ABDH．于是立得a2+b2=c2．　　□

下面的证法33可以看成是证法30的变种．其证法的关键在于能够观察出图2.4中的多边形RTLA和BPDE全等以及

证法33　如图2.4所示，容易证明XZ=YZ=b−a，NC=CL=b−a，故SCNST=CL·CN=(b−a)2=SXWYZ．现在就有

下面的证法34中也能看出证法30的影子．

证法34　如图2.5所示，由S1+S2=S3立得c2=a2+b2．　　□

下面的证法35和证法36都与证法34类似，但是分块数更少．

证法35　如图2.6所示，易证S6=S3+S2，S7=S1+S5．故

证法36　如图2.7所示，易知

故有

下面的证法37比证法36更加简洁．

证法37　如图2.8所示，易证，故S3+S6=S3+S4+S5．于是有

下面的证法38与证法36一脉相承．

证法38　从图2.9(a)和(b)中可以看出

作HN∥AD．由HD=b−a=KF，∠KFL=∠LHD，∠FLK=∠HLD可知于是可知LF=LH．再考虑到∠LHN=∠A=∠SFL，∠FLS=∠HLN，得到，所以HN=FS．而，故于是．现在就有

由式（2.1）和式（2.2）立得a2+b2=c2．　　□

以上介绍的证法30～证法38的过程都是先对两个直角边上的正方形进行分割，然后将其中的某些子图块拼成斜正方形的一部分，可以称之为“割直补斜”．

作为对比，下面我们将介绍几个“割斜补直”的证法，即证法39～证法44．它们的特点是先对斜边上的正方形c进行分块，然后把某些子图块拼到直角边的正方形中去．这些证法大多数也都可以看作是证法30及证法1的变形．

证法39　如图2.10所示，由S3=S1+S2立得c2=a2+b2．　　□

证法40　如图2.11所示，由S8+S9=S7立得c2=a2+b2．　　□

证法41　如图2.12所示，由S7+S6=S2，S8+S9=S3立得c2=a2+b2．　　□

证法42　如图2.13所示，由S6+S7=S3立得c2=a2+b2．　　□

证法43　如图2.14所示，由S6=S8，S7+S8=S3立得c2=a2+b2．　　□

证法44　如图2.15所示，由S1+S2=S3，S6+S7=S9立得c2=a2+b2．　　□