1.3 常用基本信号

1.3.1 常用连续时间信号

常用连续时间信号可以归纳为两类：一类为基本信号；另一类为奇异信号。

1.基本信号

1）正弦函数

其表达式为

式中，A表示幅度；ω表示角频率；θ表示初相位。T=2π/ω为正弦函数的周期。正弦函数的波形如图1-6所示。正弦函数的一个重要性质是对它进行微分或积分运算后，仍为同频率的正弦函数。

2）指数函数

其表达式为

式中，A、a均为常数。

图1-7给出了a＞0，a=0和a＜0三种情况下的指数函数波形。

3）抽样函数（取样函数）

抽样函数一般用Sa（t）表示，其表达式为

其波形如图1-8所示。

从图1-8可以看出，抽样函数Sa（t）是偶函数，并且在t的正、负两方向上的振幅都逐渐衰减，当t=±π，±2π，±3π，…时，函数值为零。如果把以相邻两个零点为端点的区间叫做过零区间，则Sa（t）函数只有在原点附近的过零区间的宽度为2π，其余过零区间的宽度均为π。

抽样函数具有下列性质：

与Sa（t）函数类似的函数叫做sinc函数，其定义为

4）高斯函数（钟形脉冲函数）

高斯函数的定义为

其波形如图1-9所示。

高斯函数是单调下降的偶函数。在随机信号的分析中，高斯函数占有重要的地位，随机误差的正态概率密度分布函数即为高斯函数。

2.奇异信号

在信号与系统的分析中，除上述几种常用的基本信号外，还有一类信号，其本身具有简单的数学形式，属于连续信号，但又有不连续点或其导数、积分有不连续点，这类信号统称为奇异信号或奇异函数。

下面介绍几种常见的奇异函数。这些典型的信号都是由实际的物理现象经过数学抽象而定义出来的。奇异信号虽然与实际信号不同，但只要把实际信号按照一定的条件理想化后，即可用这些信号来分析它们了。

1）单位斜坡函数

其数学表达式为

其波形如图1-10所示。

如果将起始点移至t0处，则为

其波形如图1-11所示。

如果斜率不为1，而是A（A为大于零的常数），则可以写为Ar（t）。

实际中会遇到“截平”的斜坡函数，其数学表达式为

其波形如图1-12所示。

2）单位阶跃函数

单位阶跃函数描述了某些实际对象从一个状态瞬时变成另一个状态的过程。例如，电路中用开关接通电源时，电压瞬间变化的情况就可以用单位阶跃函数来描述。单位阶跃函数通常用符号u（t）来表示，其波形如图1-13所示。

在跳变点t=0处，单位阶跃函数没有定义，可根据实际的物理意义，规定t=0处的值为0、1或。

如果跳变点移至t0，则表示为

其波形如图1-14所示。

容易证明：

单位阶跃函数具有单边特性。当任意函数f（t）与u（t）相乘时，将使f（t）在跳变点之前的幅度变为零，因此也称单边特性为切除特性。例如，将正弦函数sint与u（t）相乘，则可使其t＜0的部分变为零，如图1-15所示。

利用单位阶跃函数的切除特性，可以方便地表示分段函数。例如，矩形脉冲G（t）可表示为G（t）=u（t）-u（t-t0），如图1-16所示。

常称如图1-17所示的矩形脉冲gτ（t）为门函数，其宽度为τ，幅度为1。利用移位阶跃函数，门函数可以表示为

因果信号（即t＜0时，f（t）=0；t＞0时，f（t）≠0）可用f（t）u（t）表示；反因果信号（即t＞0时，f（t）=0；t＜0时，f（t）≠0）可用f（t）u（-t）表示。

3）符号函数

符号函数用sgn（t）表示，其定义为

其波形如图1-18所示。

用单位阶跃函数可以将sgn（t）表示为sgn（t）=u（t）-u（-t）或sgn（t）=2u（t）-1。

与阶跃函数类似，符号函数在跳变点处也不予定义，但也有时规定sgn（0）=0。

4）单位冲激函数

单位冲激函数通常用符号δ（t）表示，其波形如图1-19所示。它是一个具有有限面积的窄而高的尖峰信号。

狄拉克（Dirac）给出了冲激函数的一种定义形式：

在式（1-24）中，的含义是该函数波形下的面积等于1。该定义表明：虽然δ（t）的持续时间为0，但却有有限的面积，即δ（t）在t=0时是无界的。

如果“冲激”点不在t=0处，而在t=t0处，则定义可写为

其波形如图1-20所示。

如果a是常数，则aδ（t）表示出现在t=0处，强度为a的冲激函数；如果a为负值，则表示强度为 a的负冲激。在波形图中，应将冲激强度值标在箭头旁边的括号里。图1-21为f（t）=-2δ（t-1）的波形。

下面从另一个角度推导阶跃函数和冲激函数。

如图1-22所示，选定函数rτ（t），t为自变量，τ为参变量。p τ（t）为rτ（t）的导数，该脉冲波形下的面积为1，称该面积为函数pτ（t）的强度。

从图1-22中可以看出，当τ→0时，函数rτ（t）在t=0处由0立即跃变为1，其斜率为无限大，这个函数即为单位阶跃函数u（t）。当τ→0时，函数pτ（t）的宽度趋于零，而幅度趋于无限大，但其强度仍为1，这个函数即为单位冲激函数δ（t）。

由图1-22可知：

5）单位冲激偶

冲激函数的微分（阶跃函数的二阶导数）将呈现正、负极性的一对冲激，但其面积不是常量，一般称它为冲激偶信号，记做δ′（t）。

可以借助三角形脉冲推导出δ′（t）。如图1-23所示的三角形脉冲s（t），其面积为1。当τ→0时，s（t）即变为单位冲激信号δ（t）。三角形脉冲的导数s′（t）的波形是正、负极性的两个矩形脉冲，面积均为。随着τ减小，这对脉冲宽度变窄，幅度增高。当τ→0时，s′（t）是正、负极性的两个脉冲函数，其强度为无穷大，这就是单位冲激偶δ′（t）。

由图1-23可见，δ′（t）的面积等于零，即

为了方便，在表示冲激偶δ′（t）时，常省去负冲激，并标明δ′（t），以免与δ（t）相混淆。

3.冲激函数的性质

1）与普通函数的乘积

2）移位特性

式（1-32）表明，f（t）与δ（t-t0）的乘积在（-∞，∞）区间内取积分时，其结果为f（t）在冲激点t0处的函数值f（t0），因而也称为取样特性或“筛选”特性。

3）尺度变换

冲激是一个高而窄的峰，随着时间缩放会改变其面积。δ（t）的面积为1，则δ（at）的面积为，由于冲激δ（at）仍在t=0处发生，因此可把它看做一个未压缩的冲激，即有

由于时间移位不会影响面积的大小，所以有

下面来证明一下式（1-33）。

证明：令at=x，

若a＞0，则。

若a＜0，则有。

所以有

又因为

所以有

推论：当a=-1时，有

由此可以看出δ（t）为偶函数。

4）复合函数形式的冲激函数

设f（t）=0有n个互不相等的实数根ti（i=0，1，2，…，n），在任一单根ti附近足够小的邻域内，将f（t）展开为泰勒级数，并忽略高次项，得

因为f（ti）是f（t）的单根，故f′（ti）≠0。因此，在t=ti附近，δ[f（t）]可写为

若f（t）=0的n个根均为单根，即在t=ti处f′（ti）≠0，则有

式（1-37）表明，δ[f（t）]是由位于各ti处，强度为的n个冲激函数构成的冲激函数序列。

例如，若f（t）=9t2-1，则

如果f（t）=0有重根，则δ[f（t）]没有意义。

4.冲激偶函数的性质

1）乘积特性

证明：对式（1-30）两边求导数，即

又有

所以有

f（t）δ′（t-t0）=f（t0）δ′（t-t0）-f′（t0）δ（t-t0）

当t0=0时，可以得到式（1-38）。

2）移位特性（取样特性）

证明：对式（1-39）两边求积分，得

当t0=0时，可以得到式（1-40）。

3）尺度变换

证明：对式（1-33）两边求导数，得

而

所以有

类似地，有

推论：对于式（1-43），若取a=-1，得δ（n）（-t）=（-1）nδ（n）（t），即有

（1）当n为偶数时，有δ（n）（-t）=δ（n）（t），故可将其看做t的偶函数，如δ（t），δ（2）（t），…是t的偶函数；

（2）当n为奇数时，有δ（n）（-t）=-δ（n）（t），故可将其看做t的奇函数，如δ′（t），δ（3）（t），…是t的奇函数。

1.3.2 常用离散时间信号

1.单位序列

单位序列用δ（k）表示，其定义为

其波形如图1-24所示。

δ（k）只在k=0处取值为1，其余各点均为0。单位序列也叫做单位脉冲序列。它是离散系统分析中最简单，也是最重要的序列之一。它在离散时间系统中的作用，类似于冲激函数δ（t）在连续时间系统中的作用。

若将δ（k）平移i位，可得

其波形如图1-25所示。

由于δ（k-i）只在k=i时的取值为1，其他点处的取值均为零，所以有

式（1-46）也可称为δ（k）的取样性质。

2.单位阶跃序列

单位阶跃序列用u（k）表示，其定义为

其波形如图1-26所示。

u（k）在k＜0时为零，在k≥0的各点为1。它类似于连续时间信号中的u（t）。

需要注意的是：由于u（t）在t=0处发生跳变，故在此点常常不予以定义；而单位阶跃序列u（k）在k=0处明确定义为1。

若将u（k）平移i位，得

其波形如图1-27所示。

不难看出，单位序列δ（k）与单位阶跃序列u（k）之间的关系为

例如，对于序列

利用移位的阶跃序列，可以将它表示为f（k）=3ku（k-2）。

3.矩形序列

其表达式为

矩形序列共有N个幅度为1的样值，如图1-28所示。它类似于连续函数中的矩形脉冲。

可以看出GN（k）=u（k）-u（k-N）。

4.斜坡序列

其表达式为

其波形如图1-29所示，它类似于连续函数中的斜坡函数。

5.指数序列

其表达式为

当 a＞1时，指数序列发散；当 a ＜1时，指数序列收敛；当a＞0时，指数序列都取正值；当a＜0时，指数序列值在正负之间摆动。指数序列的波形如图1-30所示。

6.正弦序列

正弦序列的表达式为

式中，ω0为正弦序列的数字角频率（或角频率），单位为rad/s。

正（余）弦函数为周期函数，但正弦序列却不一定为周期序列。

（1）若为整数，则正弦序列是周期序列，周期为。

（2）若不是整数而是有理数a（即ω0=2π/a），则此时的正弦序列仍为周期序列，但其周期不是a，而是a的某个整数倍。

证明：设正弦序列的周期为N，根据周期信号的定义有sin（ω0k）=sinω0（k+N）。将ω0=2π/a代入该式，得

使此等式成立的条件应是：，其中，m=1，2，3，…

所以有

也就是说，正弦周期序列的周期N应为满足式（1-55）的最小整数。

（3）若为无理数，则式（1-55）将永不满足。此时的正弦序列就不是周期序列了，但其样值的包络线仍为正弦函数。

7.复指数序列

复指数序列是很常用的一种复序列，它的每一个序列值都是一个复指数，具有实部和虚部两部分，其表达式为

若用极坐标表示，则有

式中，f（k）=1；arg[f（k）]=ω0k。