1.1.3 特殊行列式

下面利用行列式的定义来计算几种特殊的n阶行列式。

1.对角行列式

只有在对角线上有非零元素的行列式称为对角行列式。

例1.5 证明对角行列式。

其中行列式（1.6）主对角线上的元素是λi（i=1，2，…，n），行列式（1.7）次对角线上的元素是λi（i=1，2，…，n），其他元素都是0。

证 利用n阶行列式的定义逐次降阶展开行列式（1.6）得

对行列式（1.7），注意到降阶展开时，元素λ1，λ2，…，λn依次在第n，n-1，…，2，1列，故有

用同样的方法可以将式（1.7）的结果加以类推。即

2.下（上）三角行列式

对角线以上（下）的元素都为零的行列式称为下（上）三角行列式。

例1.6 试证下三角行列式

证 利用n阶行列式的定义，逐次降阶展开，故有

3.一个重要的行列式公式

例1.7 证明

证 对等式左边行列式按第1行展开，得

所以原式成立。

一般地，可以用数学归纳法证明

公式（1.10）在行列式的计算与证明中经常使用。