1.3 数制

按照进位规则进行计数，即进位的制度，称为数制。一个数制所包含的数字符号的个数，称为该数制的基数（radix）。人们在日常生活中使用的是十进制，有时也采用十二进制、二十四进制、六十进制，比如用于计时的时钟。而在数字系统中多采用二进制，有时也采用八进制或十六进制。

1.十进制（Decimal）

十进制有10个数字符号：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，基数为10，逢10进1，即9+1=10。任何一个十进制数都可以用这10个代码按一定规律排列起来表示。一个数的大小由它的数码大小和数码所在的位置决定。每个数码所处的位置称为“权”，权由基数的乘方表示，十进制的权由100，101，102，…以及10-1，10-2，10-3，…表示。例如，8596.41按权展开为

（8596.41）10=8×103+5×102+9×101+6×100+4×10-1+1×10-2

数字电路的计数规则一般不直接采用十进制，因为构成计数电路的基本思路是把电路的状态与数码对应起来，如果采用十进制，则需要有10个不同的电路状态来与之对应，从而会使数字电路的结构复杂，错误概率增大，工作可靠性变差。数字电路通常采用二进制进行计数。

2.二进制（Binary）

二进制的基数为2，只有两个数码0和1，逢2进1，即1+1=10。二进制数各位的权为基数2的乘方（见表1.1）。

表1.1 二进制数的权

二进制数（101101.101）2可表示为

（101101.101）2=1×25+1×23+1×22+1×20+1×2-1+1×2-3

数字电路中通常采用二进制，是因为二进制数只有0和1两个数码，正好对应于低电平和高电平两种电路状态。

3.八进制（Octal）

八进制的基数为8，有8个数码0，1，2，3，4，5，6，7，逢8进1，即7+1=10。八进制数各位的权为基数8的乘方。例如八进制数（374.25）8按权展开为

（374.25）8=3×82+7×81+4×80+2×8-1+5×8-2

4.十六进制（Hexadecimal）

十六进制的基数为16，有16个数码0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，A，B，C，D，E，F，其中A～F分别表示10～15，逢16进1，即F+1=10。各位的权为基数16的乘方。例如十六进制数（D5E8.A3）16按权展开为

（D5E8.A3）16=13×163+5×162+14×161+8×160+10×16-1+3×16-2

5.任意进制

r进制的基数为r，有r个数码0，1，2，…，（r-1），逢r进1。各位的权为r的乘方。一个r进制数N可以按权展开为

式中，n为整数部分的位数，m为小数部分的位数，ri为各位的权，ki为系数，是各位的数码。注意，整数部分从右向左第n位的权为rn-1，系数为kn-1；小数部分从左向右第m位的权为r-m，系数为k-m。

例如，七进制数（345.61）7按权展开为

（345.61）7=3×72+4×71+5×70+6×7-1+1×7-2

表1.2列出了十进制数0～17所对应的二进制数、八进制数和十六进制数。

表1.2 几种数制之间的关系对照表