1.2.3 正弦交流电路
1.纯电阻电路
图1.34 纯电阻电路
交流电路中如果只有电阻，这种电路就称为纯电阻电路。负载为白炽灯、电炉、电烙铁等的电路都是纯电阻电路。
（1）电流与电压的数值关系
在纯电阻电路中，如图1.34所示，设加在电阻 R上的交流电压是
，则通过这个电阻的电流瞬时值为
式中
可见，电流、电压的最大值、有效值也都符合欧姆定律。
（2）电流与电压的相位关系
由上面i的表达式可以看出，流经电阻中的电流与端电压同相，其波形图和相量图如图1.35所示。
图1.35 纯电阻电路中电流与电压的相位关系
2.纯电容电路
在交流电路中，如果只用电容器作为负载，且可以忽略介质的损耗，那么这个电路称为纯电容电路，如图1.36所示。
图1.36 纯电容电路
（1）电流与电压的数值关系
在交流电路中，电容对交流电有阻碍作用，这种阻碍作用在电工技术中通常用容抗表征，记为XC，单位是欧（Ω）。
实验证明，电容器的容抗XC与电容器的电容量 C 及交流电的频率成反比，用公式表示为
从式中可以看出，对于交流电，频率越高，XC就越小；反之，频率越低，XC就越大。对于直流电来说，f=0，XC=∞，可视为开路。可见，电容器有“通交流、隔直流，通高频、阻低频”的特性。
在纯电容电路中，电压的最大值、有效值和电流的最大值、有效值之间也符合欧姆定律，即
（2）电流与电压的相位关系
通过实验和计算证明，在纯电容电路中，电流超前电压90°，或者说电压滞后电流90°。若设电容端电压为
则
电流i和电压uC的波形图和相量图如图1.37所示。
图1.37 纯电容电路中电流与电压的相位关系
3.纯电感电路
在交流电路中，如果用电感线圈作为负载，且这些线圈的内阻可以忽略不计，那么这个电路称为纯电感电路，如图1.38所示。
（1）电流与电压的数值关系
在交流电路中，当电感线圈中的电流发生变化时，线圈中将产生感应电动势阻碍电流的变化。在电工技术中，通常用感抗表征电感线圈对电流的阻力，记为XL，单位是欧（Ω）。实验表明，感抗与电感 L 以及电源频率成正比，用公式表示为
X L =ωL=2πfL
图1.38 纯电感电路
从式中可以看出，频率越高，XL越大；频率越低，XL越小。对直流电而言，由于0f =，则X L=0，电感相当于短路。可见，电感有“通直流、阻交流”或“通低频、阻高频”的特性。感抗与频率成正比的特性在电工电子技术中有着广泛的应用。
可以证明，在纯电感电路中，通过线圈的电流的最大值、有效值和线圈端电压的最大值、有效值之间的关系也符合欧姆定律，即
（2）电流与电压的相位关系
通过实验和计算可以证明，在纯电感电路中，电压超前电流90°，或者说电流滞后电压90°。若设电感线圈中通过的电流为
则
电流i和电压uL的波形图和相量图如图1.39所示。
图1.39 纯电感电路中电流与电压的相位关系
4.R-L-C串联电路
在电工技术中，一个电路中往往同时具有两种或两种以上的元件，它们以各种方式连
图1.40 R-L-C串联电路
接起来。下面介绍一个典型电路，即R-L-C串联电路，电路图如图1.40所示。
（1）端电流与电压的相位关系
设通过此电路的正弦交流电为
按图示参考方向，各元件两端的电压分别为
由基尔霍夫定律可知电路A、B两端的电压为
u=uR+uL+uC
由上述可知，电阻两端电压与电流同相，电感两端电压较电流超前90°，电容两端电压较电流滞后90°。由于电感上的电压uL与电容上的电压uC是反相的，故R-L-C串联电路的性质要由这两个电压分量的大小来决定。由于串联电路中电流相等，而UL =XLI，UC =XCI，所以，电路的性质实际上是由XL和XC的大小来决定的。
[1] 当XL＞XC，则UL＞UC。端电压应为三个电压
的相量和，如图1.41（a）所示。
图1.41 R-L-C串联电路的三种情况
由图可知，端电压较电流超前一个小于90°的角φ，电路呈电感性，称为电感性电路。端电压u与电流i的相位差为
[2] 当XL＜XC，则UL＜UC。它们的相量关系如图1.41（b）所示，端电压较电流落后一个小于90°的角φ，电路呈电容性，称为电容性电路。端电压u与电流i的相位差为
[3] 当XL=XC，则UL=UC。电感两端的电压和电容两端的电压大小相等，相位相反，故端电压等于电阻两端的电压，即U =UR。端电压u与电流i的相位差为
φ=φu0-φi0=0
电路呈电阻性。电路的这种状态称为串联谐振，相量关系如图1.41（c）所示。
（2）端电流与电压的大小关系
从图1.41 中可以看到，电路的端电压与各分电压构成一个直角三角形，称为电压三角形。端电压为直角三角形的斜边。直角边由两个分量组成，一个分量是与电流相位相同的分量，也就是电阻两端的电压UR；另一个分量是与电流相位差90°的分量，也就是电感与电容两端电压之差|UL-UC|。
由三角形可得到，端电流有效值与各分电压有效值的关系是相量和，而不是代数和。根据勾股定理
将UR =RI，UL =XLI，UC =XCI代入上式，得
这就是R-L-C串联电路中的欧姆定律表达式。式中
称为电路的阻抗，它的单位是欧（Ω）。
感抗和容抗统称为电抗，两者之差用X表示，即X =XL-XC，单位为欧（Ω），故得
将电压三角形各边同除以电流I可得到阻抗三角形。斜边为阻抗|Z|，直角边为电阻R和电抗 X，如图1.42所示。|Z|和 R 两边的夹角φ也称为阻抗角，它就是端电压和电流的相位差，即
图1.42 R-L-C串联电路阻抗三角形
【例1.5】 在R-L-C串联电路中，已知电路端电压 U=220V，电源频率为50Hz, R=30Ω，L=445mH， C=32μF。求：[1]电路中的电流大小；[2]端电压和电流之间的相位差；[3]电阻和电容两端的电压。
解：[1]先计算感抗、容抗和阻抗
XL=2πfL=2×3.14×50×0.445Ω≈140Ω
所以
[2] 端电压和电流之间的相位差是
因为XL＞XC，所以φ＞0，电路呈电感性。
[3] 电阻、电感和电容两端的电压分别是
UR=RI=30×4.4V=132V
UL=XLI=140×4.4V=616V
UC=XCI=100×4.4V=440V
（3）R-L-C串联电路的两个特例
[1] 当电路中X C=0，即UC=0，这时电路就是R-L串联电路，其相量图如图1.43（a）所示。端电压与电流的数值关系为
这就是R-L串联电路中的欧姆定律表达式，式中
阻抗 |Z|、电阻R和感抗X L也构成一个阻抗三角形，如图1.43（b）所示。
图1.43 R-L串联电路相量图与阻抗三角形
[2] 当电路中X L=0，即UL=0，这时电路就是R-C串联电路，其相量图如图1.44（a）所示。端电压与电流的数值关系为
图1.44 R-C串联电路相量图与阻抗三角形
这就是R-C串联电路中的欧姆定律表达式，式中
阻抗 |Z|、电阻R和容抗XC也构成一个阻抗三角形，如图1.44（b）所示。
【例1.6】 为了降低小功率单相交流电动机的转速，可以用降低电动机端电压的办法来解决。为此，在电路中串联一个电感线圈，称为电抗器，如图1.45所示。若电动机电阻 R=190Ω，感抗
=260 Ω,电源端电压 U=220V，电源频率f=50 Hz。要求串联电抗器后电动机两端的电压为U′=180V，求电抗器的电感为多大？
解：电动机的阻抗为
图1.45 例1.6图
根据降压要求，电路中电流应该为
电路中总阻抗是
此阻抗包括电阻R、电动机感抗
和电抗器感抗XL，所以，可求出总感抗
因此，电抗器的电感为
【例1.7】 在如图1.46（a）所示的R-C串联电路中，已知电压的频率是800Hz，电容是0.046μF，需要输出电压u2较输入电压u滞后30°的相位差。求电阻的数值是多少？
图1.46 例1.7图
解：先画出电流和各元件两端电压的相量图，如图1.46（b）所示。u2较u滞后30°，于是端电压和电流的相位差为
φ=90 °-30°=60°
由阻抗三角形可得
所以
即电路应选择2498Ω的电阻，就能使输出电压滞后输入电压30°。